何謂數學?對這個問題，不同的人會有很不同的答案，但是每一個數學家所努力的， 都是要找到「證明」，從大家所接受的公理或公設出發，找出對某一個題目的證明。 從希臘時代，就留下了許多的問題，有許多的問題，經過了數學家們的努力， 我們已知道了答案，也就是我們找到了「證明」，如所謂的幾何三大難題， 而有些至今尚未解決，如「雙生質數是否無限多？」任何一個問題， 我們總是盼望找到「證明」，不論是證明它是真的，或是證明它是假的都可以， 不論是證明「雙生質數是無限多」，或是證明「雙生質數是有限的」， 都將是一個非常轟動的結果。若是找不到證明，則認為也許是自己才智不夠， 或是時間尚末成熟，真的是如此嗎？

1930年希伯特接受 Konigsberg 贈予榮譽市民時，發表了一個著名的演說， 演說辭的最後兩句話為

「我們必須知道，我們將會知道」(Wir mussen wissen. Wir werden wissen.)

當年希伯特的演講所灌製的唱片，現在仍然保存著，我們若仔細聽， 仍依悉可聽到希伯特講完這句話時，得意的笑聲 ^註3 。對著數學抱著如此的信心， 相信是極大部份的數學家所共有的，希伯特清楚且有力的表達出來， 只可惜這個信心是沒有根據的，而且沒有多久，就被證明如此樂觀的信心是錯的， 因為1930年11月17日， 《Monatshefte fur Mathematik und Physik》這個期刊接受了當年25歲的戈德爾所投的稿，證明了不完備定理，有些命題是真的，但無法被證明， 數學家也許有信心（事實上由不完備定理可知這個信心是無法證實的）說： 「被證明的就是真的」，但再也無法說：「真的一定會被證明。」

自戈德爾證明了不完備定理之後，許多數理邏輯學家們即努力去找一個數論中為真， 但無法用皮亞諾公設證明的敘述，花了將近半個世紀都沒有找到， 因此也就有人說戈德爾所指的「為真但無法證明」的命題，可能和真正的數學無關， 即一個真正研究數學，而非研究邏輯的數學家，將永遠不會遇到這樣的命題， 不完備定理是邏輯上的一個有趣的定理，但對數學沒有影響，所有的數學問題， 如「雙生質數是否無限多？」，我們仍遲早會知道答案。 1978年 Paris 和 Harrington 終於找到了組合學 Ramsey 理論中的一個命題，它是真的，但無法用皮亞諾公設證明，後來其他的學者又陸續發現了許多這樣的命題，（有興趣的讀者可參閱筆者〈數學歸納法〉一文）。 對任何一個數學命題，我們當然要想法子證明它是真的，或找反例證明它是錯的， 若是都不成功的話，也許該聽聽不完備定理所給的建議，嘗試去證明「此命題無法被證為真」，或「此命題無法被證明為假」，以往數學家只有兩條路可走，證明是真的，或證明是假的，如今又多了兩條路，不能被證明是真的，和不能被證明是假的。要提醒大家注意的，就是第三條和第四條路彼此並不相斥，集合論中有名的「連續統假說」(Continuum Hypothesis)，即被證明以現有的集合論公設，無法證明它為假（戈德爾1936年的結果），亦無法證明它為真（Paul Cohen 1963年的結果）。