以上簡述了不完備定理的背景，現在我們來敘述不完備定理，一般所謂的不完備定理，分為兩個部份：

第一不完備定理
任何一個足夠強的一致公設系統，必定是不完備的。

即除非這個系統很簡單，(所以能敘述的不多)，或是包含矛盾的， 否則必有一真的敘述不能被證明。

第二不完備定理
任何一個足夠強的一致公設系統，必無法證明本身的一致性。

所以除非這個系統很簡單，否則你若在此系統性，證明了本身的一致性，反而已顯出它是不一致的。

戈德爾的證明過程相當複雜，而其中最核心的概念，是古典希臘哲學中一個有名的詭論 (paradox)：說謊者詭論。紀元前6世紀希臘時代的一個詩人哲學家 Epimenides 說了一句很有名的話：「所有的克里特島人都是說謊的。」這句話有名倒不是因為它是真理，正好相反，因為它一定是錯的，為什麼是錯的呢？因為說這句話的人 Epimenides 就是克里特島人，同樣一句話，別人說也可能是對的，（希望不致冒犯了克里特島人），但是由克里特島人來說，就一定是錯的，為什麼呢？若這句話是真的，則 Epimenides 沒有說謊，和這句話矛盾，所以這句話是假的。 我們再舉一個例子來說明這個詭論。

A：B這句話是真的。
B：A這句話是假的。

我們可能會認為A(或B)這句話非真即假，且讓我們來看看是否如此，假設A這句話是真的，即表示B這句話是真的，故「A這句話是假的」是真的，故A這句話是假的，和假設矛盾。我們現在假設A這句話是假的，則「B這句話是真的」是假的，故B這句話是假的，所以「A這句話是假的」是假的，即A這句話是真的，這又和我們的假設矛盾，結論是，A不論是真是假都得到矛盾，大家若有興趣，不妨從B句開始，亦得到相同的結果，這就是它之所以被稱為詭論的緣由。

戈德爾是如何利用這個概念呢？若說：「這句話是假的。」 那麼利用前面的論證，這句話是矛盾的，所以任何一個一致的公設系統都無法說出這句話來，而戈德爾將上面的這句話改為「這句話不能被證明。」

注意，「真」和「能被證明」並不相等，同樣「假」和「不能被證明」亦不相等。 戈德爾證明了在皮亞諾公設內，（其實不需要用到這麼強的公設）可以說出「這句話不能被證明」，若願意接受這件事，我們即可證明不完備定理了，為證明方便，我們稱「這句話不能被證明」為A，若在此系統內A被證明了，則由A的意義，即A不能被證明，知道「A」是假的，而在此系統內證明了一個假的敘述，表示此系統是不一致的，故若此系統是一致的，則A不能被證明，則由A的意義得知A是真的，因它說它不能被證明，因此我們也就找到了一個敘述，即為A，它是真的，卻無法被證明。任何一個公設系統若能說出「這句話不能被證明」則此系統若非不一致，就是不完備。為了確知是否清楚了這個概念，讀者不妨作一個測驗，「沒有真理！」是真的嗎？