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.原載於數學傳播第十三卷第三期
.作者當時任職於中央研究院數學研究所
 

關於圓周率π

余文卿

 
 


1.圓周率的定義與近似值

圓周率 π是圓的周長與直徑的比,即直徑是 1 的圓周長是 π,使用積分的定義則是

\begin{displaymath}
\pi = 2 \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}
\end{displaymath}

自古以來,種種方法被運用於求 π 的近似值。以 AnBn 表示單位圓的內接與外切之正 n 邊形面積,則有

\begin{displaymath}
A_n = \frac{n}{2}\sin \frac{2\pi}{n} , \quad B_n=n \tan \frac{\pi}{n}
\end{displaymath}

因而 $A_n < \pi < B_n$。π的值到小數點後200位是

\begin{eqnarray*}
\pi & = & 3.1415926535 \; 8979323846 \; 2643383279 \; 50288419...
...& & \;\;\; 8410270193 \; 8521105559 \; 6446229489 \; 5493038196
\end{eqnarray*}


取 π = 31,415,926,535/10,000,000,000,做輾轉相除法得 π 的連分數表示是

\begin{displaymath}
\pi=3+\frac{1}{7+\frac{1}{15+\frac{1}{1+\frac{1}{292+\frac{1}{1+\frac{1}{\vdots}}}}}}
\end{displaymath}

而前面七個近似分數是

\begin{displaymath}
\frac{1}{3},\frac{22}{7},\frac{333}{106},\frac{355}{113},\frac{103993}{33102},\frac{104348}{33215},\frac{208341}{66317}
\end{displaymath}

阿基米德考慮圓內接與外切正96邊形,而得出 $3\frac{10}{71}< \pi < 3 \frac{1}{7}$;而西元五世紀左右,祖沖之得出的近似值 $\frac{355}{113}$,近代更用計算機,將 π 的值計算到 16,000,000位。

 
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編輯:朱安強 最後修改日期:4/26/2002