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關於圓周率π （第 4 頁）

余文卿

 

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．原載於數學傳播第十三卷第三期
．作者當時任職於中央研究院數學研究所
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4.π是一超越數

所謂超越數即是不滿足任意有理係數 n 次方程式的數（可能是複數）。要證明某一數是超越數，一般並不容易。1873年 Charles Hermite（1822∼1901）證明了自然對數的基底

\begin{displaymath} e=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots +\frac{1}{n!}+\cdots \end{displaymath}

是一超越數，因而得到

\begin{displaymath} \begin{eqalign} & a_1e^{r_1}+a_2e^{r_2}+\cdots + a_ne^{r_n}=0 \\ \Longrightarrow & a_1=a_2=\cdots =0 \end{eqalign}\end{displaymath}

其中 a1,a2,…,an 是有理數，而 r1,r2,…,rn，是相異正整數或零。

1882年，F. Lindeman 推廣 Hermite 的定理，允許 a1,a2,…,an; r1,r2,…,rn 是代數數，即

若 r1,r2,…,rn 是 n 個相異代數數，且 a1,a2,…,an 是 n 個代數數，則

\begin{displaymath} \begin{eqalign} & a_1e^{r_1}+a_2e^{r_2}+\cdots + a_ne^{r_n}=0 \\ \Longrightarrow & a_1=a_2=\cdots =0 \end{eqalign}\end{displaymath}

利用上面的定理與有名的尤拉公式，即可很快得證 π 是一超越數，尤拉公式是

\begin{displaymath} e^{i \theta }=\cos \theta + i \sin \theta \end{displaymath}

特別是 $e^{i \pi }=\cos \pi + i \sin pi = -1 $。

因而 $e^{i \pi}+1=0$，即 $e^{i \pi}+e^0=0$ 若 π 是代數數的話，則 $e^{i \pi}$ 與 e0 的係數應是 0；但事實不然，故只好 π 是超越數了。

   

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編輯：朱安強 最後修改日期：4/26/2002