關於圓周率π (第 2 頁)

　1│2│3│4│5　

關於圓周率π （第 2 頁）

余文卿

首頁 | 搜尋

．原載於數學傳播第十三卷第三期
．作者當時任職於中央研究院數學研究所
‧對外搜尋關鍵字

2.π 與級數的和

π 很自然地出現在一些正項級數與交錯級數的和，如

$\begin{eqnarray*} (1) & & 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \cdots + \frac{(-1)^{n... ...minus0.1pt{\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \char 98}} \end{eqnarray*}$

這類的級數和可由三角級數、積分或複變方法得出，如

$\begin{displaymath} \frac{\pi}{4}=\int_0^1 \frac{dx}{1+x^2}= \int_0^1 [1-x^2+x^4-\cdots + (-1)^nx^{2n}+\cdots]dx \end{displaymath}$

逐項積分即可得出第一個式子，這式子曾被用來計算 π 的近似值，但不很實用，若想得到 100 位，則需算到 10⁵⁰ 項。

而第二個式子與一般級數

$\begin{displaymath} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2k}, \quad k\mbox{{\fontfamil... ...nus0.1pt{\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \char 98}} \end{displaymath}$

的和是由 Euler 在1736年獲得，現介紹 Euler 得出第二式所使用的方法，考慮正弦函數，

$\begin{displaymath} \sin x = x - \frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots + \frac{(-1)^{n-1}x^{2n-1}}{(2n-1)!}+\cdots \end{displaymath}$

$\sin x = 0$ 的根是 0, $\pm \pi ,\pm 2 \pi ,\cdots, \pm n \pi \cdots$

令 x²= y ，則

$\begin{displaymath} y(1-\frac{y}{3!}+\frac{y^2}{5!}-\frac{y^3}{7!}+ \cdots + \frac{(-1)^{n-1} y^{n-1}}{(2n-1)!}+ \cdots) =0 \end{displaymath}$

故方程式

$\begin{displaymath} 1-\frac{y}{3!}+\frac{y^2}{5!}-\frac{y^3}{7!} + \cdots + \frac{(-1)^{n-1}y^{n-1}}{(2n-1)!} + \cdots =0 \end{displaymath}$

的根是 $\pi^2 , (\pi)^2, (2\pi)^2, \cdots , (n\pi)^2, \cdots$ 但這些根的倒數和則是第二項係數 $-\frac{1}{3!}$ 乘上 -1，即

$\begin{eqnarray*} & \frac{1}{\pi^2}+\frac{1}{(2\pi)^2}+\frac{1}{(3\pi)^2}+\cdots... ...+\frac{1}{3^2}+\cdots + \frac{1}{n^2}+ \cdots = \frac{\pi^2}{6} \end{eqnarray*}$

利用餘弦函數的級數展開

$\begin{displaymath} \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots + \frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}+\cdots \end{displaymath}$

重覆上面的步驟，則得出

$\begin{displaymath} 1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\cdots + \frac{1}{(2n+1)^2}+\cdots = \frac{\pi^2}{8} \end{displaymath}$

因而上面級數減去第二個級數的兩倍，則得出

$\begin{displaymath} 1-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{4^2}+\cdots + \frac{1}{(2n-1)^2}-\frac{1}{(2n)^2}+\cdots = \frac{\pi^2}{12} \end{displaymath}$

另外 π 與反正切的關係也常被用於計算 π 的值，如

$\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{4} & = & \tan^{-1} \frac{1}{5} - \tan^{-1} \frac{1}... ...{18} + 32 \tan^{-1} \frac{1}{57} - 20 \tan^{-1} \frac{1}{239}\\ \end{eqnarray*}$

　1│2│3│4│5　


	（若有指正、疑問……，可以在此留言或寫信給我們。）

EpisteMath (c) 2000 中央研究院數學所、台大數學系
各網頁文章內容之著作權為原著作人所有

編輯：朱安強

最後修改日期：4/26/2002