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.原載於數學傳播第四卷第二期
.作者當時任教於清大數學系
 

有關數學的學習方法
各科學對數學的看法

賴漢卿

 
 

最近翻閱日本《Mathematical seminare》,5 - 1979, pp.68-85,發現了非數學本科的人,報導他們對數學的看法,以及他們所用到的數學,對數學學習方法等等。我以為數學這一門為一般學生所畏懼,為現實社會所冷淡,也為一般人所不易理解數學是什麼的今天,似乎可借助於這些非數學專家們,在數學領域中所獲得的經驗與觀點,傳播給讀者參考,或許能收些許助益,並開拓其視野。下面大都是翻譯的資料。


為物理學而學的數學

(坪井忠二(Tuboe Chuej),東京大學名譽教授)

做為手段的數學:
進入自然科學系的人,或想進這些系的人,大概不少。因此這些人,對於數學就各有其目的,其中欲為數學本身繼續研究,有志為數學家的人,也必定會有,這些人當然就以數學為目的直走,但為數並不多,大部分的人大概都不以數學本身為目的,可說只把數學當做謀求自己工作之發展的一手段而已。如同學習外國語之目的相似,那些已進入自然科學界的,以及準備想進去的,是為英語去讀英語,至於英語學或英文學並不是其本身的目的,求取將來以英語寫成的自然科學書籍或論文,能毫無不自由地閱讀,同時自己也可用英語寫些報告或論文,或能與做同方面學問之外國人交談為目的,他們就不是以學英語本身為目的,而是當做一種手段而已。

要這麼說,目的與手段似乎無太嚴密的區別。在學習過程中,用手段使用數學的內容,可能也會浮起興趣來,而原以數學本身為目的的人,也可能對應用方面浮起興趣,以致原欲做為目的的數學,及做為手段的數學都變成無法區別,而混為一體了。舉個可能稍為誇大之例,如牛頓在思考萬有引力時,看來是位物理學家,而在以微積分之創始者來說,那是位數學家,硬是把他分做數學家或物理學家,實際上並無多大意義。

這些我們暫且忘了它不提,只以多數人使用數學做為其手段者,來進行我們的話題。

數學表現的物理學意義:
如果說以使用數學當做手段,其道具之長處與優點,就須充分瞭解。因而對此道具要如何使用,就非得熟練不可。以用數學做為手段的人,讀數學時是學習如何使用為其主要目的。所謂使用法,如以研究物理學的人,他就很會將物理學與數學結合在一起,於是他對於在什麼範圍內,有可能結合;超過了那個範圍,則不可能結合,必須要有充分的瞭解,否則他所得的「數學」也就止於演習而已,與物理學就毫無關連了。為了要理解物理學現象,必須要能以使用數學做為手段,同時也得不忘物理學思考之發展。在物理學中,常常會出現種種數學的表現,但對於其物理意義 (physical meaning)則非時常反省不可。

說「這些結果,是由計算機算出來的,絕不可能有錯誤」的人是有的,計算機的數值計算即使無誤,但計算機程式的想法或設計若有誤,則以此錯誤的程式命令計算機「算算這個」,其結果當然定是錯的。故不管你使用多高級的「數學」,若其用法不當,其結果也就無意義了。與之相反的,一件好像是簡單的「數學」但與物理學結合得好, 則會產生很深奧的結果。例如

\begin{displaymath}
f=m\frac{d^2x}{dt^2}=ma
\end{displaymath}

在數學來說,那只不過是極為簡單之二階微分方程式,但它卻是牛頓的壯大堂皇的學理基礎。公式

f=ma

可寫成更一般的形式為

y=ax

這是 xy的一次式。這個式子卻是表示種種物理事象的關係式。比方說: a為物體運動時之定速度, x視為時間,則 y就是其移動的距雕。若 a視為利率, x為期間,則 y為此期間所得到的利息。又當 a為彈性係數時, x為微小的彎曲,則 y為此時所產生的張力 (stress)。要是 a為鐵絲的線密度, x為其長度,則 y為鐵絲全體的重量, …。不管 x是代表時間、期間、彎曲或線長度,上式都能成立,也就是說 x可表任何東西,說大些,這是數學所與的光榮。但在物理學中就不那樣廣泛,它只是 x所表示何物之問題而已。這就是以數學的數學,以手段之數學有所不同之處。

另一方面再回到

\begin{displaymath}
f=m\frac{d^2x}{dt^2}
\end{displaymath}

之式子來看。 d2x/dt2x - t坐標所畫之曲線中,它不外乎表其彎曲度,即斜率之變化率而已。畫出曲線時,彎度較大的,就具有較大的力量, d2x/dt2 > 0則其力 f為正,此時曲線是向上凹,表示力是向上的意思。這種曲線的曲率是掌握著力的大小與方向。再舉個簡單的例子,如數式

\begin{displaymath}
\frac{1}{z} =\frac{1}{x} +\frac{1}{y}
\end{displaymath}

寫成

\begin{displaymath}\frac{1}{R} =\frac{1}{r_1} +\frac{1}{r_2} \end{displaymath}

則為並聯電阻的關係式。如果寫成

\begin{displaymath}\frac{1}{f} =\frac{1}{u} +\frac{1}{v} \end{displaymath}

則為凸鏡像之位置與焦點距離之式。 如圖,若 fu給定,則 v之值馬上可求得,此式不外乎是直線

y=ax+b

x軸上取點 (u,0),截 y軸於點 (0, v),此時之直線方程式為

\begin{displaymath}\frac{x}{u} +\frac{y}{v} =1\end{displaymath}

且該直線通過 x=f; y=f,因之得

\begin{displaymath}\frac{1}{u} +\frac{1}{v} =\frac{1}{f}\end{displaymath}



又如以 Δ 之距離,去程與回程的速度分別為 v1,v2,則全部的平均速度為 V 時,其間的關係式為

\begin{displaymath}
\frac{1}{V} =\frac{1}{2} (\frac{1}{v_1} +\frac{1}{v_2})
\end{displaymath}

總之

\begin{displaymath}
\frac{1}{z} =\frac{1}{x} +\frac{1}{y}
\end{displaymath}

是一個數式,這個式子可表示電阻之式,鏡像之式,速度之式等等。所以在物理上應用數學做為手段,是很有趣的情形。要是如在並聯電阻全體中流過電流為 I 時,分配到電阻是 r1,r2 之電流設為 i1,i2,則全電力 W 為最小的條件該如何呢?那就是從電力

W=(i1+i2)2R-(i12r1+i22r2)

對於 i1,i2 分別微分令為 0 後,求得之式為

\begin{displaymath}\frac{1}{R} =\frac{1}{r_1} +\frac{1}{r_2} \end{displaymath}

這是使 W為最小之條件,所以「條件該如何」是具有其物理意味的。

依目的而為的數學:
前面一直以簡單且容易的話題寫來,如果在物理上,以數學做為手段,其重要且較高水準之例子還有很多。要是欲以使用數學為手段,按其目的,非得真正知道數學不可,這該是做物理的人所必要的「學數學的方法」。

   

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編輯:陳文是 最後修改日期:4/26/2002