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有關數學的學習方法
各科學對數學的看法
(第 2 頁)

賴漢卿

 


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.原載於數學傳播第四卷第二期
.作者當時任教於清大數學系
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為工程而學數學

(三浦宏文(Miura Hirofumi),東京大學)

1.回憶
為寫本稿,乃找出於進大學當時之興奮心情,在數學課所記得筆記來瀏覽,恰遇有同事井上博允助教授從傍窺視,說「寫得很整齊呀!」,這是大學入學後最初的筆記本之一頁;細心的筆跡,象徵著我青春的開始。自忖井上先生沒看第二頁,可說真僥倖。

第一頁開始寫著下面事項:

$\triangle$實數的性質
$1^{\circ}$.對於加法,乘法自成為一個體

\begin{displaymath}
\begin{array}{l\vert l}
a,b \in \mathbf{R} & \in:\mbox{eleme...
..., \exists -a, a+(-a)=0 & \forall :\mbox{for all}\\
\end{array}\end{displaymath}

$2^{\circ}$.順序公理(省略)

$3^{\circ}$.阿基米得公理

\begin{displaymath}
\forall n, an \leq b \Rightarrow a < 0
\end{displaymath}

$4^{\circ}$.連續性公理(Weierstrass公理)
… 』

至今回想當時之情景,不由得浮現出教室內的新納文雄老師,他左手邊將垂髮撥上,笑容可恭地默默在黑板上書寫的情形,記得當天就寫了 10頁。我要是遇考試,不管題目怎麼出,自信還可如願解出, 但卻不知為什麼隨著老師抄寫黑板。這個筆記在學生寮 (宿舍)之木板床上,以悲悽之心情,翻閱至深夜無法入睡。

第二天,在校園內巧遇高中時的前輩,乃問以「大學的數學,真夠怪的」,前輩乃說「進了大學,不念《解析概論》-(即分析導論或稱高等微積分)是不可以的,且要對 ε,δ 能習慣」。於是用媽媽的朋友祝賀我考取大學的千圓,買了一本高木貞治著的《解析概論》(該書有中譯本,由葉能哲、賴漢卿合譯,名為《高等微積分》),就開始啃,此乃我修習數學的第一部。

在高中時對於「數列的收斂」所授之「無限接近之事」乃改用「任意給定之正數 ε,與之對應的一正整數 n0而於

\begin{displaymath}
n > n_0 \mbox{{\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \char 118}}\quad \vert \alpha -\alpha_n \vert < \varepsilon
\end{displaymath}

來決定」。在這種非常嚴密的敘述下,才算是數學,是當時所以領會到的記憶。

於是前輩所說的 ε,δ,到「連續的均勻性」之概念來想像時,也就能習慣了。ε,δ 是讀函數解析(即泛函分析)的基本事項,在感覺堙A這是與高中所讀的數學最不同之點,且此對自己也很有助益,這些都要謝謝我那位前輩先給與我的忠告。

2.有許多記憶的事象
當 ε,δ 已習慣後,才再記起大學入試前所讀的數學與大學中之數學,有很大不同;高中數學,在給與的題目中都以能「漂亮地」解出為主,所以入試前的數學,都想漂亮能解出的問題,是為數學問題之運用而生。這種淺見,認為數學所表現的問題,都要能漂亮解出來。因此對 ε,δ 也以為會出現這類問題。

回顧入試數學領域中,乘法公式只要記得幾個,則因式問題必能克服;二次方程式之根與係數的關係,要是能十分理解,一定能解決許多問題,心媟Q只要利用很少的道具,就有許多收穫,乃是數學。所以在高中時之數學表現,都能享受數學說明的樂趣,說實在的,在問題集堙A分組取用就有此現象。比如討論二次方程式時,祇要記得根的公式,則不論什麼方程式,都能容易解出,就像導入虛數 i 來說,只要以一公式,便能擴展到複數的整個世界去,覺得自己學到了萬能的方法,這是一很深刻的記憶。

但來到大學的數學時,這種萬能的公式卻不復存在,於是開始注意到非記憶不可的事項太多了,就是最單純的一階常微分方程式 (當開始學習時的想法),其形式就有 Bernoulli形,Riccati 形等之稱呼,而其解法則完全不同,同時非將此解法記到某程度不可,蓋因它無法導到簡易之解法。因有此情形,讀者諸君,在開始學習微分方程式論初期,大概會體會到「結果只取能解的方程式,而能解之方程式大概都很受限制吧!」這不過是我自己的經驗,隨意下的結論,但為加強工程方面之有用數學,則非記憶很多公式不可。工程學家是數學的使用者,數學家所開發出來的多彩多姿的道具,緊握在手中即可。

3.數學的奇妙
本稿開始,是介紹自己的筆記,這是屬解析(即分析)的講義。另有一種所謂「幾何」,是由谷山豐先生(年青早逝)講授,這是一門難以理解的課,他常以「n 維空間」為對象,如全班同學,最初是合成班,二年後要進到各自專門的院別,班埵P學得解散分發,而其系別名稱很多,乃由「n 維」所決定。但此時所學,到現在卻非常有用,這也可以說是擴展到很廣泛範圍的一門學問。其他如線性規劃,彈性矩陣分析,有限數學等,在工程學上也是極有用的應用技法,當時的筆記本甚有見效,乃是最高興的一件事。

學工程的人,決定自己專門方向後,在學數學的使用時,必須要認識數學的奇妙所在。雖然前述之微分方程,想到能解的畢竟有限,然而這些能解的微分方程式,卻說明了自然現象上,最適切而取用的情形。當然這也可能是在研究進展下,將解法形成定式化而已。在高中時,埋首於「漂亮」解,所能期待的也就是這種時期,即能具體的被應用於自然現象的事項。具有「圓對稱性」領域上之偏微分方程式,如波動方程式,熱傳導方程式等,幾乎全部之應用都適用於 Bessel微分方程式。同樣的 Laplace方程式 (表示著許多的自然現象)用空間之極坐標表現,如欲解此方程式 (可用變數分離法),則其出現之一常微分方程式為 Legendre方程式。球形物之熱傳導或流動的分析,就是為這種方程式所約束,當你讀這一帶之東西時,還是會覺得數學具有萬能。

我的恩師渡邊茂先生,因具有很優秀之數學修養,很幸運地從研究院時代起,使我對數學的各部門有接觸的機會。在上述的情形,我對數學常會有下面三步驟之想法:

1.以為不易突破。
2.因要記的東西太多,帶著手冊 (公式、方法)那就大概夠了。
3.遇到大事情,就感到數學的偉大。

   

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編輯:陳文是 最後修改日期:4/26/2002