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有關數學的學習方法
各科學對數學的看法
(第 3 頁)

賴漢卿

 


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.原載於數學傳播第四卷第二期
.作者當時任教於清大數學系
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為計算機科學的數學

(有澤誠(Arizawa Makato),山梨大學)

計算機科學之英文名稱為 Computer Science,這門科學的數學,也有「計算幾何學」之邀請,實際上這是筆者在大學之一必修科由其中包含微分幾何。由 Riemann Christoffel 之張量積開始,含有諸多難予瞭解的概念。其次就注意到比此要容易的軟體,這是筆者現在為什麼走這一方面之一理由,或許以往也曾在那堭埻z過。

關於計算機科學之我的想法,是如下情形:中央有軟體的大柱,而兩側有硬體及數學理論來支持著。因此各種應用,乃置於此整體之上。要是去掉數學之一支柱,軟體使開始崩塌,結果在應用方面之各種,恐怕也都會受到崩落殆盡之累。

學數學本身所得之知識或結果,可能隨時光消逝而成過去,但對數學的思考法,以及數學的方法(技巧),以身歷其境,乃更為重要。一般化之抽象概念、嚴密的理論思考、系統化嘗試之錯誤經驗、單調之作業能無錯誤地實行的持久力、以及時而有突破之觀念能開拓,等等可說都是學數學所得的本質。這些對計算機科學 (因而滲透到其他各方面之應用亦然)想必定很有助益的部分。

事實上與這堜珥z,大致具有相同的功用,即為未來的享樂,並非以利益為前提者 (按:日語的數學數樂是同樣的發音,乃以數學為數樂)。

這堜珨〞澈鉿猁k與數學之名稱並列,也有人喜歡用數理的稱呼。如數理工學或情報數理等名稱,即資訊工學,資訊科學等名稱,也時常並列使用。

有人說計算機是否為「只為計算之機械」,此問就如同數學是否為「數的學問」,以這相似的比喻來理解,當能更適切的體會出來。因此所謂計算科學的數學,也就包含著種種的領域。首先以其最為基礎的算則 (Algorithm) 之數學或理論來說,那是解決問題之實效性的一種手段。計算機科學是不是能把問題解決,是須靠有細密的解析與嚴密的推理。於此若有些許欠陷,則計算機之 「機械」就不能圓滿地為你工作。

在高中一直都很有親密感的代數、解析、機率統計等領域,與計算機科學有深切的關連,比較新的領域則有離散數學。現在於計算機所取用之數並非連續量,而是離散量。譬如要直接微分,乃換成差分來處理,而微分方程式就換成差分方程式。一般並不只是求問題之解的封閉數式形式,而是以所給定的邊界值,求此對應的數值解姿勢,在實用上常很有效,因此就開拓了數值分析的領域。

其他如圖論或組合論等與計算機科學也結了很深的緣。又數理符號語言,Automaton 理論,歸納性函數的計算理論,規劃理論,更有在應用方面的作業研究等等,都在數學領域裡打滾,目前雖未整理成形的領域,不久的將來,必能充分成長為一體系的分科。

為計算機科學的數學,可說遍歷數學的許多枝,但並不必精讀所有的領域,重要的乃是在某領域有所必要時,有能處理的基礎力之儲備。因此大概少不得有下面二種讀(數學)法。

第一,要以廣而淺的方針,歷遍各領域,而有概觀的認識。在高中時之數學,特別應有認識「大學入試可能出的數學」外的數學,廣收其見識。

第二,不論那一個領域,宜擇其一或二,徹底的學習。例如說所選之領城,不一定在爾後直接用到,但能在一領域學成,以後為某種需要所迫,學習另一領域時,此經驗經常是相當有效的。這堜珥n強調的是宜以選擇自己有興趣的領域為主。

在準備大學入試時之讀書法是,所有科目都要能平衡發展,方能獲取高分的目標,若有某一科目不得意,乃以大部分時間花費在此科目上,這是求取錄取的特殊策略。故在剛進大學的學生中,有不少人忘了讀書樂。在大學生時代是一生中,能讀自己喜愛之書,最難能可貴之一機會。不少人在大學畢業後,剛步入社會時,常感嘆的說:「學生時代,要是能多用功一點就好了」。在四年間學得到的知識,算不了什麼,但能穩定念書的習慣與方法,其後之發展必有很大的差別。

另一力面,數學或與之相近的方面,得注意「過飽不消化」。每天一點點的積蓄,即積分是很重要的一件事,跟聯考入試的準備一樣,開一整夜車數學,並不很奏效,這該是能想像得到的認識。在計算機科學也具有此性格的一門學問,是幸或不幸不得而知。

筆者在以前有同在一研究室工作的電研所之島田俊夫氏,他意味下面敘述的一段話:「喝酒對於定性之議論力量並不改變,但對於定量之說法,則醉了時的力量會減弱。即討論天下國家大事,酒精並不會使之變成為負,數學定理的證明或計算機的算則理論,對於酒精而言並不會(影響)變成為負的意思。

為計算機科學的數學,是與傳統(純粹)數學不同,並不祇追求藝術的「美」,或科學的「真理」,而是常把工程學的實用性或經濟性置於腦中。如光說原理性所能解決,而在計算機卻要花上幾年,那就毫無價值了。但反過來說,只要得到結果,其推理稍欠嚴密也無妨,這種想法也不健全,如果對於推理有缺陷,利用計算機所產生的結果,將會有敏銳的影響出現。欲求科學的精密度,工學與工程兩方面的意義,都屬計算機科學的分野。

單在計算機周圍打轉,而忽略了自己在做之工作的局部性部分,以致喪失在整體中所佔的位置。這在計算機社會中,所能影響的成果,恐怕就不易看見。像這種情形,由計算機外側觀望,而為使全體能保持平衡的感覺,則數學意味想必很有用處。

與長久傳統數學所不同的,計算機科學可以說是數學的一新分科,在這個世界堙A尚未確立的公理系,或絕對性公理,是幾乎不存在,這對富有冒險精神的年青人,說不定是一損失。但十年或廿年後,我想計算機科學將會以不同之容貌出現,筆者以稍感不安的想像而期待著。

   

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編輯:陳文是 最後修改日期:4/26/2002