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.原載於數學傳播第二卷第三期
.作者當時任教於中央數學系
 

淺談幾個或然率上的詭論

熊昭

 
 

語言是人用來描述自然現象,社會現象的工具,也是溝通思想的工具。因此,不止是要言之有物,而且要先「有物」,再 「言之」。作文,造句若是違反了這個原則,就會「出笑話」;最有名的例子就是「矛、盾」了。(那個賣「矛、盾」的先生,大概只想到賣貨賺錢。)數學上把「出笑話」的而又同時費解的敘述稱為詭論 (paradox)。平時提到這些詭論,大家都感到荒謬,卻似乎沒有強調出荒謬的原因。我們將在下面談幾個或然率上的詭論。儘量避免術語,以利高中同學閱讀。


I

王先生賣蜂蜜,一日淡似一日。李先生想要弄清楚情況,於是做了如下的推理。李先生用 X 代表蜜中水的份量與蜜的份量的比值。李先生想,王先生的招牌是一杯水兩杯蜜。所以 X 一定比 $\frac{1}{2}$ 大。另方面,王先生摻水絕不敢摻到一杯水一杯蜜,所以 $X\leq 1$。既然 X 是在 $\frac{1}{2}$ 與 1 之間,那麼 $X\geq\frac{4}{5}$ 的或然率就該是 $(1-\frac{4}{5})(1-\frac{1}{2}) = \frac{2}{5} = 0.4$。也就是說,王先生用多於四杯的水來配五杯蜜的可能性是百分之四十。王先生真狠。

李先生拿著這些道理去找王先生。王先生不慌不忙的說,我們用 Y 表示蜜水中蜜的份量與水的份量的比值。照你的意思,Y 是在 1 與 2 之間。那麼 $Y<\frac{5}{4}$ 的或然率就是 $(\frac{5}{4}-1)/(2-1)=0.25$。因此我老王用多於四杯的水配五杯蜜的可能性是百分之二十五,不是百分之四十。老李啊!別冤我。

毛病出在那堜O?我們知道,李先生在做計算的時候,其實是把 X 的分佈假設為均勻分佈,也就是說,X 的值是在 $\frac{1}{2}$ 與 1 之間,而且對任意的 a,b,c,d 四個數,只要 $\frac{1}{2}\leq a<b<c<d\leq 1$b-a=d-c,則 X 的值落在 ab 之間的或然率就要等於 X 的值落在 cd 之間的或然率。王先生計算的時候,也是把 Y 假設成均勻分佈。大家都知道,XY 之間有一個固定的關係。根據這個關係,讀者不難算出,如果 X 是均勻分佈的話,則 Y 就不是均勻分佈。因此把兩個都假設成均勻分佈是錯誤的。(其實,李先生是想當然的,不經意的把 X 的分佈假設成均勻分佈。到底 X 是不是均勻分佈,該怎樣判定它,就不在這討論了。)(Bertrand's paradox)

 
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編輯:黃信元 最後修改日期:4/26/2002