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淺談幾個或然率上的詭論 (第 4 頁)

熊昭

 

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.原載於數學傳播第二卷第三期
.作者當時任教於中央數學系
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IV

我們知道,丟擲一粒骰子出現么點的或然率是 $\frac{1}{6}$;丟擲兩粒骰子,同時出現么點的或然率是 $\frac{1}{36}$$\frac{1}{6}$$\frac{1}{36}$ 的六倍。由此,De Mere 說,連續丟擲四次骰子,其中至少出現一次么點的或然率就應當等於連續將兩粒骰子丟擲二十四次,其中至少有一次出現兩個么點的或然率。但是 De Mere 做過相當多的實驗,發現前者大於二分之一,後者小於二分之一。De Mere 把這困擾告訴了巴斯卡 (Pascal),巴斯卡又寫信告訴費馬 (Fermat) 說,我想你我都知道錯在那堙C讀者若是仔細一點,大概不必做實驗,也能算得出來前者是 $1-(\frac{5}{6})^4>\frac{1}{2}$,後者是 $1-(\frac{35}{36})^{24}<\frac{1}{2}$。為什麼 De Mere 會有如上的困擾呢?

為了方便,我們把連續丟擲四次骰子,其中至少有一么點出現的事件叫做 A。在 A 事件中,第 j 次出現么點的事件叫做 Aj。所以 $A=\bigcup_{j=1}^4 A_j$(小心!AiAj 是相交的。)對於另一事件,我們採用類似的處理,則可以寫得 $B=\bigcup_{k=1}^{24}B_k$BiBj 也是相交的。)在這些語言、符號下,De Mere 的思路是這樣的:因為每一 Aj 的或然率是每一 Bk 或然率的 6 倍,再因為 A 是由 4塊 Aj 組成,B 由 24塊 Bk 組成,所以 A 的或然率就該等於 B 的或然率。錯誤之處明顯極了。(De Mere's dice problem)

   

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編輯:黃信元 最後修改日期:4/26/2002