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.原載於數學傳播第二卷第三期
.作者當時任教於中央數學系

註釋
 

海外學人相親記

李宗元

 
 


吳博士相親

話說海外學人吳博士 1 ,年已四十有餘,至今卻仍孑然一身。 當年聽信了什麼書中自有黃金屋、書中自有顏如玉一類的邪言, 摒棄一切世事雜念,一味拼命讀書,補習、聯考、出國,只覺人生就此一途。皇天不負苦心人,終於身經千試,好不容易稍為熬出了頭,在國外大學裡賺到一張長期飯票 (tenure),雖說談不上什麼黃金屋,倒也羨煞好些別人。可是顏如玉卻連個影子也還沒有。吳家老母,就這寶貝天才一個,想到不知何日才能抱孫,心中也煞是著急。曾經三番四次勸他回國一遊,物色物色,可是吳博士飯票尚未到手,生怕耽擱了重要的研究,被他人搶了先,所以不敢輕易請假。現在研究有成,正好又有什麼經建之類的會議相邀,遂毅然放下重要工作,回國一趟,省親相親兼舉並得。這邊吳母聽了,自然大喜,立刻四下拜託,一下子約定了三十幾門人家,準備在一個多月內一一去相親。原來吳博士仍屬青年才俊,國內報章還會為他吹捧過一番,再加又有外國飯票、居留,自非你我之輩所能及,難怪各門閨秀趨之若鶩。書中自有顏如玉,此言似仍不虛。

各位看官,以上故事純屬虛構,可是在我們今日社會堙A這樣的事也不是沒有的吧?既為虛構,各位且容小的再把故事趣味化一點:卻說吳母年老糊塗,各門親事,均由三姑六婆牽線,對方家世、容貌、才學等等條件,自己事前一無所知。或許吳母急著抱孫,或許是她個性直爽,凡事不喜拖泥帶水,因此她向兒子訂下一個規定:「要就要,不要就不要」。此話何解?吳學人每看完一家,就得作個決定,如果中意要了,以後的便不需再看, 如果不中意,就得回絕人家,才能再看下面一家,(回絕過的,不能後悔再回頭,面子問題也)。吳學人一聽,覺得這樣規定,雖然直接了當,卻是很不合理。但是母命難違,心想反正有三十多位閨秀等著瞧,機會不少,自己在國內時間又無多,所以便答應就這麼辦罷。 2

諸君既為《數播》讀者,頭腦想必不差,請想想看,吳學人是否能事先決定一個辦法,使他選中第一名閨秀的機會最大? (「辦法」=「策略」,「機會」=「機率」)。這塈畯抪穔M假定,按照吳學人的主觀標準,我們可將這三十幾位閨秀一一排出名次來(各人名次不同)。當然,每位閨秀倒底是第幾名,吳學人在沒有全部看完之前是無法知道的,(「只有天知道」),但是如要等他全部看完,卻又大概來不及了,(他頂多只能選最後一位)。

這個問題不大實際嗎?我可以使他既實際又有益:我有 n 張卡片,每張下面我寫上不同的數字,現在請你一張一張地翻開來。每翻一張,我就問你「要不要?」,你若決定要了,我就送你等於卡片上所寫數目的獎金,你若決定不要,就可以再翻下面一張。現在你跟吳學人的處境完全一樣:「要就要」(以後的卡片就不得再翻),「不要就不要」(以前的獎金便不能回頭再要)。這些獎金的數目可能相差很大,(例如有一元的,有十萬元的),但最大獎金是多少只有我知道。你如真碰到這樣一位捉弄人的財主,這個問題顯然蠻值得你去花花腦筋的。你不能躲避問題說:我得多少都滿意──假如這位財主把規定稍為改變一下:若選不到頭獎,我便一錢也不給!這樣一來,數學問題仍是一樣,但是你卻非花花腦筋不可了。一個不花腦筋的「辦法」是:我要第五張,這樣你能得到頭獎(第一名閨秀)的機會只是 1/n,這顯然「不是辦法」。

你若稍為細心想想,大概會想到下面的辦法:「先放棄前面一半的卡片,(每張仍得翻開來看一看,『心埵陪蚍ヾz),然後繼續翻下去,第一次碰到比以前獎金都高的一張,我就選定它」。這塈畯怜眾] n=2k 是偶數。當然,第一名可能在前面一半,(你便失敗了),但是依照這個辦法,至少在下面的情況下,你一定能中到頭獎,這就是:假如第二名在前面 k 張卡片中,而第一名在後面 k 張卡片中。(為什麼?你要先想通這一點才能看以後的)。這個特別情況(「情況」=「事件」)的機會是

\begin{displaymath}
\frac{k}{2k}\cdot \frac{k}{2k-1}>\frac{1}{4}
\end{displaymath}

(第一名在 2k 個可能位置中要掉進後面 k 個位置堙A然後第二名在剩餘的 2k-1 個位置中,要掉進前面 k 個位置堙C這堛滿u然後」,是不是就是指「條件機率」?)

所以依照上面的辦法,你能選中頭獎的機會至少會大於 $\frac{1}{4}$,這比任意選定一張,進步不知許多了。可見有點基本數學頭腦,就算在日常生活問題中,有時也會有意想不到的便利。但是還有更好的辦法嗎?我們希望知道的是:最好的辦法是什麼?在這辦法下,得到第一名的機會倒底有多大?

 
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編輯:洪瑛 最後修改日期:4/26/2002