認識連分數 (第 2 頁)

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認識連分數（第 2 頁）

林聰源

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．原載於數學傳播第二卷第三期
．作者當時任教於清大數學系
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§1. 有窮連分數

人類最早探討的科學，不是有關人體本身的醫學或有關生活環境的生物學，而是天文學。而數學兩千多年來的進展，一直和天文學密不可分（直到本世紀才有所改變）。舉例來說，一次不定方程式 ax+by=c 和某些星象的重要現象是相互對應的。在紀元五世紀中，有一位印度數學家成功地解出了上述的方程式；他所用的方法其實和歐幾里德計算法（輾轉相除法）有貌異實同之妙，這就是「連分數」法。

現在我們先回想一下歐幾里德計算法：

設 a,b 為兩整數，且 b>a，則

$\begin{displaymath} \mbox{({\fontfamily{cwM7}\fontseries{m}\selectfont \char 66}... ...tfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \char 162}}) \end{cases}\end{displaymath}$

這個計算法是在紀元前三世紀時由歐幾里德發現的，記載在他不朽的《原本》裡第七卷上。它的主要目的在於求兩數 a 與 b 的最大公因數（即上式中之 r_N）。今天，如果我們要電子計算機為我們設計解決最大公因數的問題的話，我們該為歐幾里德驕傲，因為他兩千年前用的這個方法仍然是目前最棒的。

現在，我們把（甲）組裡的式子全寫為分式，如下所示：

$\begin{displaymath} \mbox{({\fontfamily{cwM3}\fontseries{m}\selectfont \char 14}... ...N}{r_{N-1}} \\ & \frac{r_{N-1}}{r_N}=a_N \end{eqalign}\right. \end{displaymath}$

再將乙組中第一式之 $\frac{r_1}{b}$ 以第三式之倒數代入，接著 $\frac{r_2}{r_1}$ 以第三式之倒數代入，依次類推，即得

$\begin{eqnarray*} \mbox{({\fontfamily{cwM3}\fontseries{m}\selectfont \char 6})} ... ...inus0.1pt{\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \char 98}}) \end{eqnarray*}$

上式之右邊即所謂的「連分數」（更精確地說，有窮簡單連分數）。為了節省篇幅及簡便起見，我們簡寫為

$\begin{displaymath} a_0+\frac{1}{a_1}\; \lower1.5ex\hbox{$+$}\; \frac{1}{a_2} \;... ...fontseries{m}\selectfont \char 67}} \quad [a_0,a_1,\cdots,a_N] \end{displaymath}$

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編輯：李渭天 ∕ 繪圖：簡立欣

最後修改日期：4/26/2002