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.作者當時任職於中央研究院數學所

註釋
 

數學的本質

李國偉

 
 


現代數學在方法上的特徵

現代數學在方法上最明顯的特色是它的演繹性,就是由基本定義與公理出發,經邏輯推論到所有定理的發展方式。採取這種方法並非偶然,而是有內在的需求。我們要把一套概念講清楚,必須用比較簡單的概念來解釋,但是這些概念又需要再加澄清,如此繼續下去,如果不曾周而復始得到一個什麼也說不清的惡性循環,便會無限延伸下去,達到一個不可知的前端。人類尋求知識的目的在組織自己對外在的認識,而去了解事物的表象與本質,因此在沒有墜入不可知的深淵前,必定會在某些我們直覺已認為意義相當清晰的概念處停住。我們把這些概念作為理論發展的基礎,不再去解釋它們的意義,也就是說暫時拋開它們的具體內容。這些概念我們稱為基礎概念。從此以後在我們理論發展的過程中,一切的概念都要由這些基礎概念定義出,否則便不能採用。基礎概念間如果彼此毫無關聯,顯然無法用來建立起一套有意義的理論,那麼在聯繫起基礎概念的敘述中,我們又必須挑出一些在認識上感覺最明白的作為出發點,這些敘述我們稱為公理。自此我們便用邏輯的方法,由基礎概念與公理演繹出所有的定理,而一切不能由這個程序推得的敘述,我們便不認為它是這套理論堨蕭T的命題。現代數學中各門理論,基本上都是由這個演繹方法組織起的。不過比較複雜的理論,除了自己的基礎概念及公理外,常常要引用別的理論的結果。所以嚴格說起來,那些理論的基礎概念及公理也必須包括進來。但是為表達的簡明,我們通常不這樣全套寫出。譬如大部分的理論都引用集合論的概念與定理,而一切數學理論系統必須立足於邏輯系統上,否則便無法作推論了。

現在我們來看一個極簡單的演繹系統。

倘若我們想了解線段全等的一般性質,我們可用兩個基礎概念:S(所有線段的集合),$\equiv $(全等關係)。我們有兩條公理:

公理一:
對於 S 中任何元素 x 而言,$x\equiv x$

公理二:
對於 S 中任何元素 x,y,z 而言,若 $x\equiv y$$y\equiv z$,則 $z\equiv x$

這套小理論當然已引用了邏輯與集合論中的概念,所以嚴格說起來已相當繁雜了。現在我們來證明一小定理:

定理:
S 中任何元素 x,y 而言,若 $x\equiv y$$y\equiv x$

證明:若令公理二中的 zy,便知 $x\equiv y$$y\equiv y$,則 $y\equiv x$。但是公理一告訴我們 $y\equiv y$,已有的假設告訴我們 $x\equiv y$,故可證得 $y\equiv x$

由上面的簡單證明可看出,事質上 S 是不是所有線段的集合,「$\equiv $」是不是線段全等的關係並不要緊。對於任意給的集合 S 及其上的二元關係「$\equiv $」,只要它們滿足公理一、二,則定理自然成立。 例如我們可令 S 為所有自然數的集合,「$\equiv $」指同餘於某個模數的關係。

前面說過在演繹系統中,基礎概念原來的具體內容已拋棄,所以我們可用其他的具體事物來解釋它,任何這種解釋如果又滿足所有公理,則我們說這套解釋構成原來理論的一個模型。上面的觀察告訴我們一旦定理得證,則此定理在任何模型中也成立,我們就不需要在各個具體的系統中重複同樣的證明了。

總結來說,演繹方法是組織起數學知識的最好方法。因為他可以極大程度的消去我們認識上的不清與錯誤,如果有懷疑的餘地,也都回歸到對基礎概念及公理的懷疑。而且定理函蓋了種種的具體特例,精簡與組織了我們對外在世界的認識。 註1

 
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編輯:鄧惠文 最後修改日期:4/26/2002