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數學的本質 (第 5 頁)

李國偉

 

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.作者當時任職於中央研究院數學所

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數學的本質

算術學是數學中歷史最悠久的一支,從以上的發展簡史中,我們可看出它的基本性質,它們也就充分代表了一般數學的基本性質。現在我們可以嘗試回答第三節中提出的問題了。

一、數學的研究對象是什麼? 數學的概念不是無中生有故意造出來的,也不是人類天生就有的,而是客觀世界的活動不斷在人腦留下痕跡,人腦逐步主動反映外在具體事物,分析並推廣無數量的具體經驗,經過漫長歲月發展出來的。然後人因為日漸熟練的運用已經有的抽象概念,便再一步推廣與抽象,得到更加深刻的觀念。如此繼續不斷,發達到今天高深的各種數學部門。現在看起來數學堣酊嶀K門的名堂好像與現實世界無關,但它們的本原都是由反映現象世界而來。數學絕非空洞的符號遊戲,它的最終研究對象就是客觀的世界。

二、數學方法的基礎是什麼? 從歷史的經驗中,我們可知數學與邏輯的法則不是任意規定的,它們反映了無數代累積的運算具體事物,思考具體關係的經驗。因此它們的意義在人的心智上變得十分明確清晰而有權威性。並且因為客觀世界的均勻穩定性,使得這些規則不會有異動。於是 具體與實質世界的真理性,也就是數學方法的基礎。

三、數學為什麼有那麼廣泛的應用性? 因為數學不僅抽象出個別事物的概念,並且進一步抽象出一般概念的公通性質。這類性質是不受物體普通物理性質所局限的,因此它有更普遍的真理性。只要這一系列的抽象不是從空洞的事物出發,它的抽象性就必然保證了它的廣泛應用性。 數學抽象的基礎是客觀世界的量與形,因此數學的作用雖然不像螺絲刀、老虎鉗這一類工具,但是一旦涉及事物間的深層關聯,自然要用到數學。

四、數學繼續發展的基礎是什麼呢? 從人類歷史的經驗中也可找到解答。社會生活的實際需求便是數學發達的基本動力。這並不是說所有數學都是為解答已有的實際問題所產生,有時候抽象的數學概念會跑得快一點,暫時不好應用,等到工技夠發達後才有用處。譬如複數原來被認為是虛幻的數,後來卻成為電學理論最基礎的盤石。然而無論如何在解決實際問題的過程中,人發展了新的技巧,新的概念,提供了一個比較成熟比較更完善的知識背景,使得人能解決一些暫時看來與實際問題無關,純粹數學興趣的問題。總之,因為人類社會生活的不斷繁雜,人類控制自然的能力日漸加強,人類對客觀世界的認識繼續深入,新的數學問題才會層出不窮,提拱了更豐富的數學素材。

   

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編輯:鄧惠文 最後修改日期:4/26/2002