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數學的本質 (第 2 頁)

李國偉

 

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.作者當時任職於中央研究院數學所

註釋
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現代數學在內容上的特徵

現代數學因內在的需求而採取了演繹方法,於是演繹方法的特性也反映了數學在內容上的特色:

一、抽象性:
數學的抽象性有異於其它科學的抽象性,可分三點說明:

  1. 數學基本上處理物體間量的關係以及空間的樣式,而與物體實際的物理性質無關。例如 1,2,3,$\cdots\cdots$ 都是抽象的數,並不代表一個人、二頭牛、三把刀等等。幾何堛漯蝸u也是一種抽象慨念,實際物體的稜線嚴格說都是不平直的,至少,當觀察進入原子範圍時是如此。

  2. 抽象的程度是不斷增進的,因此最後抽象的結果遠較一般科學更為遠離日常生活中的具體經驗。

  3. 數學只在抽象的概念與它們間的關係中發展。正如前面說明演繹方法時提過,一切我們所接受的數學事實,必須是由基礎概念、公理、推論而來。數學的論斷不能由作實驗中得到,就是量上一千萬個三角形,也不能因而斷言所有三角形三內角和是一百八十度。

二、嚴謹與精確性:
自然科學雖然也有相當的嚴謹與精確性,但是它的理論通常都有一定的適用範圍。例如物體在遠低於光速的速度運動時。它的質量可看為常數,但是一旦加速到近於光速時,質量便有顯著的增加,這些是可由實驗證明的。也就是說牛頓力學雖然自成一個系統,但它的正確性只能達到某個特定的程度,再深入必須改用相對論力學。如果將來有一天另一種力學再改良相對論力學,我們也不會感覺意外。然而數學的基本真理一旦建立便不再動搖,因為演繹法的每一步推理都在嚴格的邏輯條件管制下,而又不能引用不曾從基礎概念定義來的概念,所以數學的系統脈絡分明,結論精確不移。唯一還可以有懷疑的地方,便是基礎概念與公理。但是我們也說過,人要不落入不可知的深淵,必須接受一些自明的真理,否則便無知識可言,因此數學的基礎是穩固的。

三、廣泛的應用性:
數學的應用又分三個層面:

  1. 日常的計數:包括了數量與空間的度量,例如五十塊能買幾斤小白菜?三十坪的公寓要賣多少萬?雖然它們所用的數學法則極為簡單,但是我們不要忘了,在遠古時這些簡單法則都經過漫長而艱辛的步驟得到的。

  2. 工技的運算:現代工技日趨精密,再加上電算技術的進步,使得數據的計算更加繁雜更需精確。譬如在核子工程的設計上,有時小數點後十二位的誤差,都會導致荒繆的結論。在這種應用上,數學成為一種工具,不亞於築橋的水泥,造船的鋼鐵,只不過它是一種無形的工具罷了。

  3. 理論的架構:在理論科學方面,大量實驗的資料必須整理、簡化、歸納成一般性的原則,以使人了解與掌握物的本性,才有可能擴充應用的幅面,增加控制自然的本領。在敘述一般性原理時,最精確的語言便是數學的語言。在這種應用上,數學成為一切理論知識的語言部分,沒有它我們的思想無法組織起,也無法彼此溝通。

數學應用最令人讚嘆的是,經常表面上看來毫無關聯的事,使用適當的數學工具加以分析,便發現了它們內在深刻的關係。

   

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編輯:鄧惠文 最後修改日期:4/26/2002