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.原載於《自然辯證法通訊》,第16卷第2期,1994,49頁∼54頁。
.作者任職於中央研究院數學研究所

註釋
 

《九章算術》與不可公度量

李國偉

 
 


一、導言

  《九章算術》註1 第四卷「少廣」在第十二到第十六題之後,有一段開方術的敘述:

「置積為實。借一算,步之,超一等。議所得,以一乘所借一算為法,而以除。除已,倍法為定法。其復除,折法而下。復置借算,步之如初,以復議一乘之,所得副以加定法,以除。以所得副從定法。復除,折下如前。若開之不盡者,為不可開,當以面命之。若實有分者,通分內子為定實,乃開之。訖,開其母,報除。若母不可開者,又以母乘定實,乃開之。訖,令如母而一。」註2

其中「若開之不盡者,為不可開,當以面命之。」近年來常被中算史家當做引入「無理數」的證據,也就是開方的不盡根,用「面」來稱呼,便相當於一個無理數。劉徽註3 在這段話中的注文:

「不以面命之,加定法如前,求其微數。微數無名者以為分子,其一退以十為母,其再退以百為母。退之彌下,其分彌細,則朱冪雖有所棄之數,不足言之也。」

又常被認為是用十進小數來無限逼近無理方根。譬如李繼閔註4 總結說:

「總之,劉徽的論述表明,中算家通過千百次的開方運算懂得,存在開方不盡之數,其結果是不能用分數的有限形式來表示的。對於這種情形,或者引進新數稱之為『面』,或者用求微數法以十進分數來無限逼近。並且中算家不僅會用十進分數作近似計算以滿足實用的需要,而且會用『面』(即無理根數)來進行無理數的精確的理論計算。這種方法與現代數學中處理無理數的表示與計算問題的辦法,可以說是沒有什麼不同的,只是古代中算家對此的記述文字十分簡約罷了。」

  這種說法代表了一些人的偏好,特別突顯出對中國古算高度樂觀的評價。我們知道「無理數」在西方是肇始於希臘人對不可公度量的發現,註5 但是歷經兩千多年的轉折、流變,遲至十九世紀才真正在數學中找到堅實的基礎。註6 對中國古算過分的高估,也許會使人疏忽深入了解這段歷史。舉一個類似的例子來比擬,人類老早便知道沒有空氣就無法燃燒,但是在十八世紀普里斯特利 (J. Priestley,1733∼1804) 從空氣中分離出氧氣,拉瓦錫 (A.-L. Lavoisier,1743∼1794) 正確認識氧氣的作用以前,我們不適合說人類已經了解「氧」的特性。想有意識的認識一個物件,必須要清楚這個物件的某些特性,使得能把它從其他物件中區隔出來,並且掌握它的變化與運用規則。《九章算術》本文及劉徽的注是否對「無理數」達到這種程度的掌握,頗有商榷的餘地。

 
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最後修改日期:12/2/2003