蔡聰明

兩種論證 ，兩種答案 隨機實驗的機率模型 嚴格論證「轎車與山羊」問題 結語

機率論就是要對機運(chance)作數理研究的一門數學。在數學中，機率是一個較難掌握的概念，因為機運本是虛虛玄玄的。本文我們舉「轎車與山羊」的猜獎遊戲，來一窺機率式的思考與解題方法。

在電視裡，我們可以看到如下的「轎車與山羊」(the car and the goats) 之猜獎節目：有一部轎車與二隻山羊，分別關在三個房間內．由參賽者任選一個門。打開來如果是轎車，就獲得轎車的大獎；如果是山羊，就獲得小獎，牽回家牧養，當然，每個參賽者都想要得到大獎。

猜獎的程序一共有四個步驟，合成一個隨機實驗 (random experiment)：

1. 首先由參賽者任何選定一個門，暫時先不要打開。

2. 剩下兩個門由主持人打開其中一個，發現裡面是一隻山羊。

3. 主持人對參賽者說：現在你有一次機會，可以「更換或不更換」剛才的選擇。

4. 參賽者經過重新選擇之後，打開門來，謎底揭曉。

問題：在步驟(3)中，參賽者到底是更換或不更換較有利？何者獲大獎的機率較大？機率各是多少？

兩種論證 ，兩種答案

對於這個問題．基本上有兩種答案：

理由是，在決定要不要更換選擇時，面對的是一車一羊的兩個門，兩者機會均等，任選其一，得到大獎的機率為 ，得到山羊的機率也是 ，所以更換與否並沒有差別。

請讀者自己判斷，這個論證有道理嗎？更進一步，這個論證對嗎？

首先，我們採取直觀的論證。我初選得到轎車的機率為 ，得到山羊的機率為 ，所以初選我有較大的可能沒有得到轎車。因此，在獲知主持人揭露了一個山羊房間時，大大降低不利的因素．我應該更換房間，這樣比較有利於獲得大獎。

進一步，我們更明確地論證：只有更換與不更換兩種窮盡的情況，其機率和為1，如果不更換的話，得到大獎的機率就是保持原先初選時的 。從而，更換選擇得到大獎的機率為 ，這是不更換的兩倍，當然是更換好！

順便我們也可以知道，上述第一段的論證是錯的，因為它「斷章取義」。只考慮第三步驟，而沒有考慮整個猜獎的過程。