轎車與山羊 (第 3 頁)

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轎車與山羊（第 3 頁）

蔡聰明

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．原載於科學月刊第二十九卷第十一期
．作者當時任教於台灣大學數學系
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嚴格論證「轎車與山羊」問題

我們不妨將轎車所在的房間編為 1 號．其餘兩個含山羊的房間編為 2 號與 3 號（當然參賽者不知情）。

整個猜獎過程之隨機實驗，可能出現的一個結果可用一個四元數 (u,v,w,x) 來表現，其中 u 表示初選的房間號碼，v 表示主持人打開的含山羊的房間號碼，w 表示經過更換後的房間號碼，x 可取值「W」或「L」，分別表示最後打開房門時，「贏得」(win) 或「失去」(lose) 轎車。例如四元數 (1,2,3,L) 表示：我初選 1 號房間（轎車在裡面），主持人打開 2 號房間，我更換成 3 號房間，最後我失去轎車。

假設我們採取更換房間的策略，那麼上述隨機實驗的樣本空間為

$\begin{displaymath} \Omega = \{ (1,2,3,\mbox{L}),(1,3,2,\mbox{L}),(2,3,1,\mbox{W}),(3,2,1,\mbox{W}) \} \end{displaymath}$

如果我初選 1 號房間（含轎車），主持人可能打開 2 號或 3 號房間，我更換成 3 號或 2 號房間，於是我失去轎車，這是第一個及第二個樣本點的情形，如果我初選 2 號或 3 號房間（含山羊），主持人可能打開 3 號或 2 號房間，我更換成 1 號房間，於是我贏得轎車，這是第三個及第四個樣本點的情形。

其次考慮事件。贏得轎車的事件為

$\begin{displaymath} A = \{ (2,3,1,\mbox{W}),(3,2,1,\mbox{W}) \} \end{displaymath}$

這相當於初選沒有選中轎車的事件。另外，失去轎車的事件為

$\begin{displaymath} B = \{ (1,2,3,\mbox{L}),(1,3,2,\mbox{L}) \} \end{displaymath}$

這相當於初選就選中轎車的事件。

最後來到如何指定機率測度的問題。初選時，我「任意地」(at random) 選定一個房間，這表示我採用丟一個「三面骰子」（可用一個正常的六面骰子來模擬，但此骰子的兩個面是 1，兩個面是 2，兩個面是 3）的辦法來決定房間的號碼，這表示我選到任何一個房間的機率是 $\frac{1}{3}$ 。

現在觀察 Ω 中的樣本點，我初選到 2 號房間只有一個樣本點 $(2,3,1,\mbox{W})$ ，故應指定

$\begin{displaymath} P\{ (2,3,1,\mbox{W}) \} = \frac{1}{3} \end{displaymath}$

同理，

$\begin{displaymath} P\big\{ (3,2,1,\mbox{W}) \big\} = \frac{1}{3} \end{displaymath}$

但是，如果我初選到 1 號房間，對應有兩個樣本點 $(1,2,3,\mbox{L})$ 與 $(1,3,2,\mbox{L})$ ，故應指定

$\begin{displaymath} P \big[ \{ (1,2,3,\mbox{L}),(1,3,2,\mbox{L}) \} \big] = \frac{1}{3} \end{displaymath}$

我們注意到，若無進一步的假設，這兩個樣本點個別的機率並沒有唯一確定，這對於我們的問題沒有影響，事實上，這裡有自由空間，只需指定

$\begin{displaymath} P\{(1,2,3,\mbox{L})\}=p \quad , \quad P\{(1,3,2,\mbox{L})\}=q \end{displaymath}$

其中 $p,q \geq 0$ ，且 $p+q = \frac{1}{3}$ 就好了。

現在我們已經為隨機實驗建立了機率空間，這相當於物理學家為自然現象建立物理理論一樣。在這個機率模型之下，我們輕易就知道贏得轎車的機率為

$\begin{displaymath} P(A)=\frac{1}{3}+ \frac{1}{3}= \frac{2}{3} \end{displaymath}$

失去轎車的機率為

$\begin{displaymath} P(B)=\frac{1}{3} \end{displaymath}$

如果我們採取不更換房間的策略，結果又如何呢？

此時的樣本空間為

$\begin{displaymath} \Omega = \big\{ (1,2,1,\mbox{W}),(1,3,1,\mbox{W}),(2,3,2,\mbox{L}),(3,2,3,\mbox{L}) \big\} \end{displaymath}$

仿上述的論證，我們可以求得失去轎車的機率為

$\begin{displaymath} P\{ (2,3,2,\mbox{L}) + P(3,2,3,\mbox{L}) \} = \frac{2}{3} \end{displaymath}$

贏得轎車的機率為

$\begin{displaymath} P \big[ \{(1,2,1,\mbox{W}),(1,3,1,\mbox{W})\} \big] = \frac{1}{3} \end{displaymath}$

結論是：更換選擇比較有利，並且更換而贏得轎車的機率為 $\frac{2}{3}$ ，不更換只有 $\frac{1}{3}$ 的機率。

習題：: 仍然考慮「轎車與山羊」的問題，但這次改成四個房間，一部轎車，三隻山羊。我先「任意」選定一個房間（暫不打開），接著主持人「任意」打開一個山羊房間，我再「任意」更換至剩下的兩個房間之一，試求我贏得轎車的機率是多少？

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編輯：鄧惠文

最後修改日期：5/31/2002