圓與π

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．原載於科學月刊第二十七卷第六期
．作者當時任教於台大數學系

圓與π

蔡聰明

圓的周長
圓的面積
圓的周長與面積的關係
微積分的發明
結語

圓的周長與面積公式，從小學、中學的數學到大學的微積分，一直都沒有處理好，要不就是語焉不詳，就是繞圈子。本文我們尋求一種不繞圈子的嚴格講法。

大家在小學的時候都學過兩個著名的公式：

圓的周長 $L = 2 \pi r$

圓的面積 $A = \pi r^2$

其中 r 為圓的半徑，π 為圓周率或單位圓的面積，並且 $\pi\doteq3.1416$ （參考圖一）。

圖一

這兩個公式是怎麼來的呢？由於要說清楚並不容易，所以老師與課本就採用先背下來「不知亦能行」的策略，一切訴諸直觀，把道理推給將來再去解說。但是,我們查遍國中與高中的數學課本，都找不到蹤跡，甚至大一的微積分課本也不談，即使談了也語焉不詳或繞圈子(vicious circle)。這個「怎麼來」的問題，涉及極限概念與實數系的完備性，果然有點兒深奧，值得我們仔細探索一遍。

圓的周長

按照知識發展的常理，我們對於事物的認識是，先從直觀經驗開始，再歸納或猜出規律，最後提出證明而完成。

對外搜尋關鍵字：
．Archimedes
．實數系的完備性
．區間套原理
．窮盡法
．歸謬法
．Euler
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．Leibniz
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直觀的經驗與猜測

由生活實踐，對於圓人類很早就認識到「周三徑一」的事實。透過實驗的辦法，度量各種大小不同的圓之周長與直徑，發現圓周與直徑的比值似乎是一個定數，跟圓的大小無關，令這個比值為 $\pi_1$ ，從而猜知：

$\begin{displaymath} \mbox{{\fontfamily{cwM0}\fontseries{m}\selectfont \char 198}... ...wM1}\fontseries{m}\selectfont \char 209}} L = 2\pi_1r \eqno(1) \end{displaymath}$

對於小學生來說，這裡有一個很好的數學實驗：度量各種大小與質料皆不同的圓之周長 L 與直徑 D，施以四則運算，列成表格：

$\begin{displaymath} \begin{tabular}{\vert c\vert c\vert c\vert c\vert c\vert c\v... ...ots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \hline \end{tabular}\end{displaymath}$

這個實驗有許多好處：練習實地度量，認識度量會伴隨誤差，磨練計算與系統地列表，主動地找尋規律。

嚴格的論證

考慮圓內接（或外切）正 n 邊形，當 n 越大時，越接近於圓。因此，圓周長應該就是圓內接（或外切）正 n 邊形的周界長在 $n\rightarrow\infty$ 時的極限值。換言之，圓可以看成是無窮多邊的正多邊形，每一邊都是無窮小 (infinitesimal)。對於一般的曲線，我們也採用同樣的方法來定義它的長度。如圖二，給一條曲線，我們在其上取有限多個點，連成折線，計算折線的長度。令所取的點之個數趨近於無窮大並且每一小段都趨近於 0，如果折線的長度存在有極限值，那麼這個極限就定義為曲線的長度。當極限值不存在時，曲線的長度就沒有定義。

圖二

因此，曲線長，特別地，圓周長的存在性並不是天經地義的，而是需要證明的。下面我們就來做這件工作。

令 U_n 與 L_n 分別表示圓的外切與內接正 n 邊形的周界長，那麼顯然有

$\begin{displaymath} L_3 < L_4<\cdots<L_n<\cdots<U_n<\cdots U_4<U_3 \end{displaymath}$

我們的目標是要證明： $\lim_{n\rightarrow\infty}(U_n-L_n)=0$

為此，我們採用阿基米得(Archimedes)的辦法，由圓內接正六邊形出發（因為最容易作圖），然後逐次加倍邊數。我們仍然有

$\begin{displaymath} L_6 < L_{6\times2} < \cdots < L_{6\times2^n} < \cdots < U_{6\times2^n} < \cdots < U_{6\times2} < U_6 \end{displaymath}$

補題1:

: (i) $U_{2n}=\frac{2L_nU_n}{L_n+U_n}$ , $L_{2n}=\sqrt{L_nU_{2n}}$
: (ii) $U_{2n}-L_{2n}<\frac{1}{2}(U_n-L_n)$

圖三

證明:

(i) 在圖三中，AB 與 CD 分別表示圓內接與圓外切正 n 邊形的一邊，則

$\begin{displaymath} U_n = 2nr \tan{\frac{180^\circ}{n}} \; , \; L_n=2nr\sin{\frac{180^\circ}{n}} \end{displaymath}$

利用正切函數的定義及倍角公式，很容易證得

$\begin{displaymath} \frac{2L_nU_n}{L_n+U_n} = U_{2n} \quad \mbox{{\fontfamily{cwM2}\fontseries{m}\selectfont \char 68}} \quad L_nU_{2n}=L_{2n}^2 \end{displaymath}$

(ii) 由 L_n<U_2n 與算數平均大於等於調和平均可得

$\begin{eqnarray*} U_{2n}-L_{2n} &=& \frac{2L_nU_n}{L_n+U_n}-\sqrt{L_nU_{2n}} \\ ... ...} \\ &=& \frac{L_n+U_n}{2}-L_n \\ &=& \frac{1}{2}(U_n - L_n) \end{eqnarray*}$

反覆利用補題1的(ii)可得

$\begin{displaymath} 0<U_{6\times2^n}-L_{6\times2^n}<\frac{1}{2^n}(U_6-L_{6}) \end{displaymath}$

從而

$\begin{displaymath} \lim_{n\rightarrow\infty}(U_n-L_n)=0 \end{displaymath}$

由實數系的完備性（區間套原理，the nested intervals principle）可知下面兩極限存在且相等

$\begin{displaymath} \lim_{n\rightarrow\infty}U_n=\lim_{n\rightarrow\infty}L_n \end{displaymath}$

這個共同的極限值，我們就定義它為圓周長。

定理1：設兩個圓的直徑分別為 d₁ 與 d₂，圓周長分別為 C₁ 與 C₂，則

$\begin{displaymath} \frac{C_1}{d_1} = \frac{C_2}{d_2} \end{displaymath}$

證明：設 L_n 與 S_n 分別為兩個圓內接正 n 邊形的周界長，由相似三角形定理知 $\frac{L_n}{d_1}=\frac{S_n}{d_2}$ 因為

$\begin{displaymath} \lim_{n\rightarrow\infty} L_n = C_1 \; , \; \lim_{n\rightarrow\infty} S_n = C_2 \end{displaymath}$

所以

$\begin{displaymath} \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{L_n}{d_1} = \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{S_n}{d_2} \end{displaymath}$

亦即

$\begin{displaymath} \frac{C_1}{d_1} = \frac{C_2}{d_2} \end{displaymath}$

因此，圓周長與直徑的比值為一個普遍的常數，跟圓的大小無關，記此常數為 $\pi_1$ 。今若一個圓的周長為 C，直徑為 d，半徑為 r，則 $C= \pi_1$ ， $d=2\pi_1 r$ 這就是圓的周長公式。

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編輯：石莉君 ∕ 校對：康明軒 ∕ 繪圖：張琇惠

最後修改日期：2/17/2002