考慮半徑為 r 的圓，根據上述的論證，我們得到圓的周長與面積公式分別為 ， 這裡出現了兩個普遍常數 與 ，它們有沒有關係呢？事實上， 圓的面積等於圖六直角三角形的面積，直角三角形的底邊為圓周長 L，垂直邊為半徑 r。

定理3(阿基米得定理)：

推論：

圖六

上述定理3的公式 是兩面刃：

(i) 若 ，則

(ii) 若 ，則

亦即求得 L 與 A 的任何一個公式就可求得另一個公式。

關於定理3的證明，阿基米得仍然是採用窮盡法與兩次歸謬法。下面我們提出四種美妙的重組與極限的論證法。

圖七

如圖七，我們可以想像，當分割越來越細時，經過重組後的圖形越來越接近於長方形，最後終於變成長方形，長為圓周長之半 ，寬為半徑 r。因此，圓的面積為

如圖八，當分割越來越細時，三角形的底邊越來越小，連結再一起的底邊終究遍成一直線， 其長度為圓周長 L，高為半徑 r，於是得證(2)式。

圖八

我們再換個圖解的方式，也可以得到(2)式，如圖九。

圖九

下面的圖解（圖十）也很有意思，值得參考：

圖十

古希臘數學家是一批非常講究「邏輯證明」的人，對於上述的直觀圖形之論證並不滿意，因此，他們提出窮盡法，並且用兩次歸謬法嚴格地證明(2)式。

事實上，現在我們所採用的論證法是極限操作，再配合圓可以看成是無窮多邊的正多邊形，參見圖十一。極限論證法是從古希臘方法精練出來的，更加簡便與好用，而且整個微積分可以建立在極限論證法上面（也可以採用無窮小論證法）。

圖十一