瓦里斯公式及其相關的結果 (第 5 頁)

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瓦里斯公式及其相關的結果（第 5 頁）

蔡聰明

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．原載於科學月刊第二十七卷第五期
．作者當時任教於台大數學系
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應用：一個期望值的計算

假設隨機變數 X 具有正規分布 $N(0,\sigma^2)$ ，我們要計算期望值 I=E(Xⁿ)。按定義

$\begin{displaymath}I=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infty}^{\infty}x^ne^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}dx\end{displaymath}$

先作變數代換，令 $v=\frac{x}{\sigma}$ ，則

$\begin{displaymath}I=\sigma^n\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}v^ne^{-\frac{v^2}{2}}dv\end{displaymath}$

注意到， $e^{-\frac{v^2}{2}}$ 為偶函數。我們分兩種情形討論：

(i)當 n 為奇數的情形

因為奇函數乘以偶函數成為奇函數，所以 $v^ne^{-\frac{v^2}{2}}$ 為一奇函數，從而 I=0。

(ii)當 n 為偶數的情形

由分部積分得到

$\begin{eqnarray*} I&=&\sigma^n\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}(-1)v^... ...rt{2\pi}}(n-1)\int_{-\infty}^{\infty}v^{n-2}e^{-\frac{v^2}{2}}dv \end{eqnarray*}$

按此要領繼續下去，我們就得到

$\begin{eqnarray*} I&=&\sigma^n(n-1)(n-3)\cdots3\cdot1\cdot\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\... ...nfty}e^{-\frac{v^2}{2}}dv\\ &=&\sigma^n(n-1)(n-3)\cdots3\cdot1 \end{eqnarray*}$

因此，我們得到結論，對於任意自然數 n，

$\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{l} E(X^{2n-1})=0\\ E(X^{2n})=\frac{(2n)!}{2^n\cdot n!}\sigma^{2n} \end{array}\right. \end{displaymath}$

這個公式可以有組合學的解釋。

考慮 n 個東西，要兩兩配成雙，問有幾種配法？當 n 為奇數時，當然配不成，所以答案為 0；當 n 為偶數時，先任取一個東西，它可跟其餘的 n-1 個東西配成雙：剩下 n-2 個東西，再任取一個，它跟所剩的 n-3 個東西可配成雙；……繼續作下去。因此，我們得知：對任意自然數 n，

$\begin{displaymath} E(X^n)=\sigma^n \cdot \mbox{({\fontfamily{cwM0}\fontseries{m... ...tfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \char 98})} \eqno{(35)} \end{displaymath}$

這個公式在機率論中扮演著一個很重要的角色。

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編輯：李渭天

最後修改日期：2/17/2002