瓦里斯公式及其相關的結果 (第 2 頁)

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瓦里斯公式及其相關的結果（第 2 頁）

蔡聰明

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．原載於科學月刊第二十七卷第五期
．作者當時任教於台大數學系
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平行類推

考慮積分

$\begin{displaymath}T_n=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\tan^n\theta d\theta \eqno{(5)}\end{displaymath}$

是否也可以得到美妙的公式？

由分部積分法，得到

$\begin{eqnarray*} T_n &=& \int_0^{\frac{\pi}{4}}\tan^{n-2}\theta(\sec^2\theta -1... ...ig[ \frac{\tan^{n-1}\theta}{n-1} \big]_0^{\frac{\pi}{4}}-T_{n-2} \end{eqnarray*}$

故

$\begin{displaymath}T_n = \frac{1}{n-1}-T_{n-2} \eqno{(6)}\end{displaymath}$

這是一個遞迴公式，再配合初期值

$\begin{displaymath}T_0=\frac{\pi}{4}\end{displaymath}$

以及

$\begin{eqnarray*} T_1 &=& \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan\theta d\theta = \ln(\sec\theta) \big\vert _0^{\frac{\pi}{4}} \\ &=& \ln\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

我們可以求得 T_n 之值：

$\begin{displaymath} \begin{array}{ll} T_2=1-\frac{\pi}{4} & \quad T_3=\frac{1}{... ...}+\frac{1}{2}-\ln\sqrt{2} \\ \vdots & \quad \vdots \end{array}\end{displaymath}$

一般而言，我們有

$\begin{displaymath} T_{2n} = (-1)^m [ \: \frac{\pi}{4} - (1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \cdots + \frac{(-1)^{m+1}}{2m-1}) \: ] \eqno{(7)} \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} T_{2n-1} = (-1)^m [ \: \ln\sqrt{2} - (\frac{1}{2} - \frac{1}... ... \frac{1}{6} - \cdots + \frac{(-1)^{m+1}}{2m}) \: ] \eqno{(8)} \end{displaymath}$

因為當 $0<\theta<\frac{\pi}{4}$ 時， $0<\tan\theta<1$ ，故 (T_n) 為一個遞減數列並有下界。由實數的完備性知，極限 $\lim_{n\rightarrow\infty}T_n = \alpha$ 存在。對(6)式取極限得 $\alpha = 0-\alpha$ ，於是 $\alpha = 0$ ，亦即

$\begin{displaymath}\lim_{n\rightarrow\infty}T_n=0 \eqno{(9)}\end{displaymath}$

註：我們也可以利用估計式 $0 < \tan\theta\leq\frac{\pi}{4}\theta$ , $\theta\in[0,\frac{\pi}{4}]$ 作積分，再配合夾擠原理，得證(9)式。

由(7)、(8)、(9)式，得到

定理2

$\begin{displaymath}\frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\cdots\eqno{(10)}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\ln\sqrt{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{6}-\frac{1}{8}\cdots\eqno{(11)}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\ln2=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\cdots\eqno{(12)}\end{displaymath}$

我們注意到：格利格瑞（Gregory）在1668年由 $\tan^{-1}x$ 的級數展開

$\begin{displaymath} \tan^{-1}=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7} \cdots, \quad 0 <x \leq1 \end{displaymath}$

代入x=1，也得到(10)式。另外，萊布尼慈（Leibniz）在1674年利用他的「積分變形定理」（Transmutation Theorem），算得(10)式時。因此，(10)式又叫做 Gregory-Leibniz 公式。當萊布尼慈求得(10)式時，他高興地說：「上帝喜悅奇數！」 (Good delighted in odd numbers!) 用奇數經過無窮步驟就可以組合出 π，這實在美妙。

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編輯：李渭天

最後修改日期：2/17/2002