蚶線 (第 7 頁)

　1│2│3│4│5│6│7　

蚶線（第 7 頁）

趙文敏

首頁 | 搜尋

．作者當時任教於師大數學系
‧對外搜尋關鍵字

蚶線所圍的面積

一般而言，蚶線是比較不容易掌握的曲線。例如：在 $k\neq2a$ 的情形，蚶線 $r=2a\cos\theta+k$ 的弧長，利用積分的方法都無法明白寫出來，只能表示成一個積分式子。至於它所圍區域的面積，用綜合幾何的方法也不易討論，只能使用積分的方法來計算。

若 $k\geq2a$ ，則蚶線 $r=2a\cos\theta+k$ 只有一個迴圈。它所圍的區域面積等於

$\begin{displaymath}\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}(2a\cos\theta+k)^2d\theta=(2a^2+k^2)\pi\end{displaymath}$

若 k<2a，則蚶線 $r=2a\cos\theta+k$ 有內、外兩個迴圈。令 $\alpha=\cos^{-1}(-\frac{k}{2a})$ ，則得

$\begin{eqnarray*} \mbox{{\fontfamily{cwM0}\fontseries{m}\selectfont \char 113}\h... ... &=&(2a^2+k^2)\cdot \alpha + \frac{3}{2k}\sqrt{4a^2-k^2}\mbox{,} \end{eqnarray*}$

例如，在三等分曲線的情形中，上述兩個面積分別為 $a^2 (\pi - \frac{3}{2} \sqrt{3})$ 與 $a^2 (2\pi + \frac{3}{2} \sqrt{3})$ 。

最後，再提出一點：圖一的左方，顯示蚶線 $r= 2\cos \theta +3$ 。在左側部分，呈「凹入」的現象，但這不是普遍現象。事實上，當 2a < k < 4a 時，蚶線 $r=2a\cos\theta+k$ 有凹入現象，稱為凹蚶線；但當 $k \leq 4a$ 時，蚶線 $r=2a\cos\theta+k$ 就不再有凹入現象了，稱為凸蚶線。要證明凹、凸的分別在於 k 是否大於 4a，恐怕得引用曲率的概念才能證明了。

　1│2│3│4│5│6│7　


	（若有指正、疑問……，可以在此留言或寫信給我們。）

EpisteMath (c) 2000 中央研究院數學所、台大數學系
各網頁文章內容之著作權為原著作人所有

編輯：康明軒

最後修改日期：4/29/2002