蚶線 (第 6 頁)

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蚶線（第 6 頁）

趙文敏

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．作者當時任教於師大數學系
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三等分角曲線

當蚶線的常數k與基圓的半徑a相等時，此蚶線具有一項特殊的性質,它可用來將任意角三等分，所以特稱之為三等分角曲線 (trisectrix)。

圖五中的虛線是一條三等分角曲線，圓O是它的基圓、 A點是它的基點。此種曲線的特點之一就是：它的內迴圈 (inner loop) 通過其基圓的圓心 O 。此曲線在角三等分問題上的應用是這樣的：以射線 $\overrightarrow{AQ}$ 為一邊作一角 $\angle OAR$ 等於欲三等分的角，並將 R 點選成滿足 $\overline{AO}=\overline{AR}$ 。設線段 $\overline{OR}$ 與三等分角曲線的內迴圈交於另一點P，則可得 $\angle OAP = \frac{1}{3} \angle OAR$ 。為什麼呢？

圖五

設直線 AP 與基圓交於另一點Q,依蚶線的定義，可知 PQ = k =a。因為OA = OQ ,所以, $\angle AOQ$ = $180^\circ$ $-2\angle OAP$ 。因為 $\overline{OQ} = \overline{PQ}$ ,所以,

$\begin{displaymath}\angle POQ = \frac{1}{2}(180^\circ-\angle AQO)=90^\circ-\frac{1}{2}\angle OAP\end{displaymath}$

由此可得

$\begin{displaymath}\angle AOR= \angle AOQ-\angle POQ=90^\circ -\frac{3}{2}\angle OAP\end{displaymath}$

因為 $\overline{AO}=\overline{AR}$ ，所以

$\begin{displaymath}\angle OAR=180^\circ-2\angle AOR=3\angle OAP\end{displaymath}$

這就是所欲證的結果。

習題:: 在圖五中，若 $\overline{OA}$ 的垂直平分線與三等分角曲線的外迴圈交於一點C，試證 $\angle OAC$ = $72^{\circ}$ 。

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編輯：康明軒

最後修改日期：4/29/2002