完全數與莫仙尼質數

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．原載於科學月刊第二卷第三期
．作者當時任教於中央數學系

‧註釋

完全數與莫仙尼質數

張鎮華

完全數及數的個性
莫仙尼 (Mersenne) 質數
尾聲

完全數及數的個性

有一位數學老師問另一位音樂老師：「音樂裏只有七個音，你為什麼要花一生的時間去研究呢？」音樂老師遲疑了一下，反問道：「數學裏頭也只有十個數字，你又為何研究一輩子不清楚呢？」當然我們知道，音樂除了七音外，還有高低節奏等問題；數學除了數字以外，還有更抽象的符號，邏輯的架構。但是那位音樂老師的話，並不完全錯誤。我國古代用算盤計算數字，聰明的數學家製造出各種不同的魔方陣，今天，電子計算機快速算著各種巨大繁雜的數字。凡此種種，都足以表示，十個阿拉伯數字所排出來的東西多麼重要，人們對它充滿興趣。於是許多有用的，或這有趣的事物，遂應運而生。完全數 (Perfect Number) 就是一個古老而富有趣味的理論，以下我就針對這個題目，及有關的問題做一番討論。

數字和人一樣，也具有各種不同的個性。人有高矮、肥瘦、美醜和好壞之分。數字也類似地被賦予許性格。根據畢氏 (Pythagoras) 一派的說法，1 是萬物本源，1 生 2，2 生 3，類推可以得到無窮多數目；4 代表人的心靈，是一個最完滿的數；它們又把整數分成奇數和偶數兩類，易經上就有陰數和陽數的相似說法。此外，還有平方數、立方數、三角數、質數、合成數、完全數和互完數等不同的名詞。

G.H. Hardy（1887～1947）曾經寫了一則故事，描述印度數學家 Ramanujan（1887～1920），說明他能用各種幾乎辦不到的方法，記住各種數目的特性。有一次，Ramanujan 生病了，Littlewood 到 Putney 地方去看他，坐的計程車號碼是1729，他覺得這是一個難記住的數目，到了他那裡，就把這件事告訴他，他馬上反駁說：「那裡的話，1729是一個很有趣的數字，它是能用兩種方法表示為兩個數的立方和的最小數目。」這個故事把數字的個性說得最透徹 ¹ 。

完全數這個名詞很早就為人所熟悉，而且特別偏好。St. Augustine 曾說：「上帝在六天裏創造了宇宙萬物，因為六是一個完全數。」現在世界各國的曆制，都採用一星期七天，就是要工作六天，休息一天。

那麼你或許要問，完全數是什麼呢？完全數是指一個自然數且滿足以下的性質，即小於它的一切因數和等於這個數本身。

第一個完全數是

6 = 1+2+3

其次我們得到

28 = 1+2+4+7+14

再下去的完全數是

496 = 1+2+4+8+16+31+62+124+248

如果有人想用實驗的方法,再繼續找下去，必定不能得到很好的效果。畢氏學派的數學家 Nichomachus（BC 100），花了不少心血，到後來研究出「雖然善和美並不常在，但尚易尋求；至於醜和惡，卻比比皆是。」事實上，再下面兩個完全數是 8128 和 33550336，不見得容易尋求。這並不是說，一切已經絕望。試著運用觀察法尋求規律性，也許可以得到一些有用的東西。

$\begin{displaymath} \begin{array}{l} 6 = 2 \times 3 = 2^1(2^{1+1} -1) \ [3] 2... ...+1} -1) \ [3] 496 = 16 \times 31 = 2^4(2^{4+1} -1) \end{array}\end{displaymath}$

觀察上面三個式子，可以發現一個通性，或許具有 2ⁿ(2ⁿ⁺¹-1) 型式的數是完全數。但是當 n=3 時

2³ (2³⁺¹ -1) = 2³ * 15 = 120

這個數並不是完全數。因此，我們更進一步要注意 2ⁿ⁺¹ -1 的性質，當 n=1,2,4 時 2ⁿ⁺¹ -1 是質數，n=3 時 2ⁿ⁺¹-1 是合成數，關鍵就在這裏了。歐基里得（Euclid, 365?～275?B.C）在他的《原本》(Element) 中，證明了這個猜測。

完全數第一定理：
若 2ⁿ⁺¹ -1 是質數，則 2ⁿ(2ⁿ⁺¹ -1) 是完全數。

證：令 P 表示質數 2ⁿ⁺¹ -1 則 2ⁿ p 的因數（小於 2ⁿ p 本身的）有

$\begin{displaymath}1,2,2^2, \cdots , 2^n , 2p , \cdots , 2^{n-1} p \end{displaymath}$

它們的和

$\begin{displaymath} S = (1+2+ \cdots \cdots + 2^n) + p(1+2+\cdots \cdots + 2^{n-1}) \end{displaymath}$

幾何級數

$\begin{displaymath}1+2+2^2 + \cdots \cdots + 2^n = 2^{n+1} -1 \end{displaymath}$

因此得

$\begin{eqnarray*} S &=& (2^{n+1} -1) + p(2^n -1) = p + p(2^n -1) \\ &=& 2^n p \end{eqnarray*}$

此數為完全數得證。

由第一定理得到的完全數都是偶數。是不是有奇完全數，這個問題沒有人知道，下面我們還會談到，至於是否還有其它的偶完全數，尤拉（Euler, 1707～1783）給我們一個完滿的答案。

完全數第二定理：
偶完全數必定呈 2ⁿ(2ⁿ⁺¹ -1 ) 的型式，其中 2ⁿ⁺¹ -1 為質數。

證：令偶完全數 $\alpha = 2^n p$ ，其中 n 為自然數，p 為奇數。α 的一切因數和（包括 α 本身）為

$\begin{eqnarray*} S &=& (2^n \mbox{{\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \... ...ontseries{m}\selectfont \char 184}}) \\ &=& (2^{n+1} -1 )(d+p) \end{eqnarray*}$

其中 d 表示 p 的一切真因數和（不包括 p 本身）。

因為 $\alpha$ 是完全數，因此

$\begin{displaymath} \begin{array}{l} \alpha = S - \alpha \qquad \mbox{{\fontfami... ...2 \alpha \\ (2^{n+1} -1)(d+p) = 2\alpha = 2^{n+1}p \end{array}\end{displaymath}$

化簡得到 p = (2ⁿ⁺¹ -1 )d

其中 2ⁿ⁺¹ -1 >1，而且 d 是 p 的因數，亦為真因數。

d 又是 p 的一切真因數的和，可見 p 為質數， d=1 。

$\begin{displaymath} P = (2^{n+1} -1 )d = 2^{n+1} -1 \mbox{ {\fontfamily{cwM1}\fo... ...\char 98}{\fontfamily{cwM0}\fontseries{m}\selectfont \char 1}} \end{displaymath}$

所以偶完全數 $\alpha = 2^n ( 2^{n+1} -1)$ ，其中 2ⁿ⁺¹ -1 為質數。

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編輯：康明軒

最後修改日期：2/17/2002