談惠更斯級數

　1│2│3│4│5　

首頁 | 搜尋

．原載於數學傳播第二十二卷第一期
．作者當時任教於台大數學系

談惠更斯級數

蔡聰明

排列與組合
平面幾何
微積分
機率論
結語

在數學史上，微積分發明之前，無窮級數的出現，最重要的里程碑有下列四端：

一、阿基米得級數

$\begin{displaymath} 1+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+\cdots \end{displaymath}$

這是阿基米得（Archimedes, 287～212 B.C.）求算拋物弓形面積時，所產生的一個無窮等比級數，它可以說是歷史上第一無窮級數。這個級數顯然收歛到 $\frac{4}{3}$ 。

二、調和級數

$\begin{displaymath} 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots \end{displaymath}$

在1350年左右，N. Oresme（約1323～1382）證明了調和級數發散，這是歷史上第一個發散級數的例子。

三、二項級數

$\begin{displaymath} (1+x)^\alpha = {}_\alpha C_0 + {}_\alpha C_1 x + {}_\alpha C_2 x^2 + {}_\alpha C_3x^3 + \cdots \end{displaymath}$

其中 α 為一個實數並且

$\begin{displaymath} {}_\alpha C_k = \frac{\alpha(\alpha-1) \cdots (\alpha-k+1)}{k!} \end{displaymath}$

從1664年冬天到1666年，共兩年之間，由於歐洲流行黑死病，牛頓（Newton, 1642～1727）由劍橋大學回鄉下老家避難，研讀 Wallis（1616～1703）的「無窮的算術」一書，受到 Wallis 的插值法及歸納法的啟發，發現了上述的二項級數，這是牛頓生平的第一個數學成果。牛頓就是由無窮級數起家，加上運動學的考量，發明了微積分。

四、惠更斯級數

$\begin{displaymath} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\frac{n(n+1)}{2}} = 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{10}+\cdots \end{displaymath}$

(1)

當Leibniz（1646～1716）在1672年於巴黎遇到惠更斯（Huygens, 1629～1695）時，惠更斯拋一個問題給 Leibniz：考慮三角形數，其第 n 項為

$\begin{displaymath} 1+2+3+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2} \end{displaymath}$

試求三角形數的倒數之和，即求(1)式之和。這個無窮級數的首 n 項之部分和為

$\begin{displaymath} \begin{eqalign} S_n &= \sum_{k=1}^n \frac{2}{k(k+1)} = 2\su... ...}{k} - \frac{1}{k+1}) \\ &= 2(1- \frac{1}{n+1}) \end{eqalign}\end{displaymath}$

(2)

於是 $\lim_{n \rightarrow \infty} S_n=2$ ，因此(1)式收歛且其和為 2。從而

$\begin{displaymath} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)} = 1 \end{displaymath}$

(3)

今日我們稱(1)式與(3)式皆為惠更斯級數。上述(2)式就是差和分的算法：欲求和分 $\sum_{k=1}^n a_k$ ，只要能夠找到 (b_n)，使得差分

$\begin{displaymath} \Delta b_k=b_{k+1}-b_k=a_k \end{displaymath}$

那麼就可得

$\begin{displaymath} \sum_{k=1}^n a_k = \sum_{k=1}^n (b_{k+1}-b_k) = b_{n+1} - b_1 \end{displaymath}$

Leibniz 利用差分法解決惠更斯級數的求和問題，並且由此引出調和三角形（又叫做Leibniz 三角形），乃至一般的差和分學，再將差和分對函數施展，作連續化，就得到微積分。這是一個偉大的發現歷程，詳情參見 [6]。

因此，惠更斯級數是生出微積分的一個重要胚芽。德國數學家 Hilbert（1862～1943）說：「做數學的要訣在於找到那個特例，它含有推展到普遍性的所有胚芽。」惠更斯級數就是這種特例。根據數學史[4]與[5]的說法，由於惠更斯與 Hudde 討論某個賭局 (game of chance) 的機率計算，才產生惠更斯級數。遺憾的是，其詳情在機率論史的文獻中已不可考。本文我們展示一些跟惠更斯級數有關的數學問題，也許可以補足這個缺憾。

排列與組合

由排列、組合與重複組合的公式可知

$\begin{displaymath} \frac{ {}_{n+1} P_2}{2} = {}_{n+1}C_2 = {}_n H_2 \end{displaymath}$

我們可以利用圖表來說明，它們都等於三角形數 $\frac{n(n+1)}{2}$ 。考慮從 n+1 個物件中任取兩個出來作排列與組合。將 n+1 個物件編號為 1,2, …, n+1，再列出下表：

因為排列計較順序，故只需扣掉對角線的元素個數

(n+1)² - (n+1) = n(n+1) = _n+1 P₂

就是排列數；組合不計較順序，所以打對折就得到組合數

$\begin{displaymath} \frac{ {}_{n+1} P_2}{2} = \frac{n(n+1)}{2} = {}_{n+1} C_2 \end{displaymath}$

另一方面，從 n 個物件中任取 2 個之重複組合數為上表中三角形內的元素個數

$\begin{displaymath} \frac{n^2-n}{2} + n = \frac{n(n+1)}{2} = {}_n H_2 \end{displaymath}$

因此，惠更斯級數就是

$\begin{displaymath} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{ {}_n H_2} = \sum_{n=1}^\infty \... ...1}{ {}_{n+1} C_2} = \sum_{n=1}^\infty \frac{2}{ {}_{n+1} P_2} \end{displaymath}$

對外搜尋關鍵字：
．Archimedes
．Newton
．Wallis
．Leibniz
．Huygens
．差分法
．Hilbert
．Jakob Bernoulli
．Euler
．Bernoulli試驗
．Poisson
．期望值
．隨機變數
．Huygens分佈

　1│2│3│4│5　


	（若有指正、疑問……，可以在此留言或寫信給我們。）

EpisteMath (c) 2000 中央研究院數學所、台大數學系
各網頁文章內容之著作權為原著作人所有

編輯：簡立欣 ∕ 校對：簡立欣 ∕ 繪圖：張琇惠

最後修改日期：5/26/2002