談惠更斯級數 (第 4 頁)

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談惠更斯級數（第 4 頁）

蔡聰明

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．原載於數學傳播第二十二卷第一期
．作者當時任教於台大數學系
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機率論

重覆且獨立地丟一個公正的銅板，這叫做 Bernoulli 試驗。令 A_n 表示第 n 次出現正面的事件，則 (A_n) 為一列獨立的事件並且 $\sum_{n=1}^\infty P(A_n)=\infty$ 。由 Borel-Cantelli 補題知

P(A_n, i.o.)=1

亦即不時地 (infinitely often, i.o.) 出現正面的機率為 1。從而，至少出現一次正面的機率也是 1。

今考慮每一次丟銅板出現正面的機率皆不同，令其為 p₁,p₂,p₃,…，這叫做 Poisson 試驗。我們要問：在什麼條件下，至少出現一次正面的機率為 1？

顯然，由 Borel-Cantelli 補題知，若 $\sum_{n=1}^\infty p_n=\infty$ ，則至少出現一次正面的機率為 1。如果我們假設 $0 \le p_n < 1$ ，則反過來也成立。因為

$\begin{eqnarray*} \mbox{{\fontfamily{cwM2}\fontseries{m}\selectfont \char 66}\hs... ...-p_n)=0 \\ &\Longleftrightarrow & \sum_{n=1}^\infty p_n=\infty \end{eqnarray*}$

這最後一步需要用到 $0 \le p_n < 1$ 的條件。

定理：在 Poisson 試驗之下，若 $0 \le p_n < 1$ ，則下列三個敘述等價：

: (i) P( 不時地出現正面 )=1，
: (ii) $\sum_{n=1}^\infty p_n=\infty$ ，
: (iii) P( 至少出現一次正面 )= 1。

特別地，取 $p_n=\frac{1}{n+1}$ ，則 $\sum_{n=1}^\infty p_n=\infty$ 。於是

$\begin{displaymath} P( \mbox{{\fontfamily{cwM2}\fontseries{m}\selectfont \char 6... ...t{\fontfamily{cwM2}\fontseries{m}\selectfont \char 222}} ) = 1 \end{displaymath}$

這恰是 Huygens 級數：

$\begin{eqnarray*} P(\mbox{{\fontfamily{cwM2}\fontseries{m}\selectfont \char 66}\... ...rac{1}{4} + \cdots \\ &=& \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)}=1 \end{eqnarray*}$

順便一提，在機率論中，要舉一個期望值不存在的隨機變數，最簡單的辦法是考慮隨機變數 X，取值

$\begin{displaymath} X = n \mbox{ {\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \ch... ...}\selectfont \char 209} } \frac{1}{n(n+1)}, \quad n=1,2,\cdots \end{displaymath}$

則期望值為

$\begin{displaymath} E(X) = \sum_{n=1}^\infty n\cdot\frac{1}{n(n+1)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n+1} = \infty \end{displaymath}$

(14)

這個隨機變數 X，出現於下面的機率問題。考慮一個甕 (Urn)，裝有一個白球與一個黑球。作隨機實驗如下：

任意取出一球。如果是白球，則終止實驗。如果是黑球，則放回，並且再加一個黑球到甕裡。然後繼續從甕中任意取出一球。
不斷地重複(i)的步驟。

一直等到取出白球為止，試求取球次數的期望值。

上述隨機實驗的樣本空間為

$\begin{displaymath} \Omega=\{w,bw,b^2w,\cdots,b^{n-1}w,\cdots\} \end{displaymath}$

每一樣本點的機率為

$\begin{eqnarray*} P(w) &=& \frac{1}{2} \\ P(bw) &=&\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3} ... ...& \frac{1}{n}\cdot\frac{1}{n+1} \\ && \cdots\cdots\cdots\cdots \end{eqnarray*}$

定義取球次數的隨機變數 X 為

$\begin{displaymath} X(w)=1 , \; X(bw)=2, \; \cdots, \; X(b^{n-1}w)=n, \; \cdots \end{displaymath}$

於是 X 的期望值就是(14)式。

下面我們再看一個 Huygens 級數自然地出現的機率問題。

考慮一個隨機變數 X，代表玉皇大帝提供給人間的命運。假設人們排成一隊，從時刻 0,1,2,… 一個接著一個來抽取命運，得到隨機樣本 X₀,X₁,…,X_n,…，它們獨立且同佈 (i.i.d.)。X₀ 代表某甲的壞運， X₁,X₂,… 代表甲周圍親友的壞運。從心理的觀點來看，甲發生不幸後，要等到周圍有人發生更大的不幸才得到安慰。亦即諺語所說的「壞運永不會變成好運，直到更壞的事情發生」(Bad is never good until worse happens)。如果我們用

$\begin{displaymath} N = \min \{ n:X_n > X_0 \} \end{displaymath}$

來代表甲等待至得到安慰的等待時間，則 P(N>k) 表示在隨機變數 $\{X_0,X_1,\cdots, X_k\}$ 中，X₀ 是最大項。由對稱性 (i.i.d.) 可知

$\begin{displaymath} P(N>k)=\frac{1}{k+1} \end{displaymath}$

於是

$\begin{eqnarray*} P(N=n)& = & P(N>n-1) - P(N>n) \\ & = & \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \\ & = & \frac{1}{n(n+1)}, \qquad n=1,2,3,\cdots \end{eqnarray*}$

我們稱隨機變數 N 具有Huygens分佈，它的期望值 $E(N)=\infty$ 。因此，平均起來甲要等待無窮長的時間才得到安慰。這叫做「壞運的持久性」或「壞運的詭論」 (the ill-luck paradox)。

最後我們介紹一個跟連分數 (continued fractions) 有關的例子。取機率空間 ( $\Omega, \mathcal{F}, P$ ) 為 Lebesgue 空間，亦即 $w=(0,1], \mathcal{F}$ 為 (0,1] 中的 Lebesgue 可測集全體，P 為 Lebesgue 測度。對於每一個 $\omega \in \Omega$ ，作連分數展開

$\begin{displaymath} \omega=\frac{1}{\displaystyle a_1+{\strut 1\over\displaystyl... ... \displaystyle a_3+{\strut 1\over \displaystyle a_4+\cdots}}}} \end{displaymath}$

定義隨機變數

$\begin{displaymath} \xi_n(\omega)=a_n, \qquad n=1,2,3,\cdots \end{displaymath}$

則每一個 $\xi_n$ 皆取值 1,2,3, $\cdots,$ 並且

$\begin{displaymath} P(\xi_1=k) &=& P(\frac{1}{k+1}<\omega\le \frac{1}{k}) = \frac{1}{k(k+1)} \end{displaymath}$

(15)

因此，隨機變數 $\xi_1$ 依從 Huygens 分佈。在這個模型之下，還可以證得許多美妙的結果，請參考 Kac [2]與 Barone & Novikoff [3]。事實上，這是 Borel 開拓機率論的一個重要特例。

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編輯：簡立欣 ∕ 校對：簡立欣 ∕ 繪圖：張琇惠

最後修改日期：5/26/2002