談惠更斯級數 (第 3 頁)

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談惠更斯級數（第 3 頁）

蔡聰明

．原載於數學傳播第二十二卷第一期
．作者當時任教於台大數學系
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微積分

在微積分中，經常出現如下的「望遠鏡法」(telescoping method) 求級數和

$\begin{displaymath} \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n(n+1)}=\sum_{n=1}^\infty (\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})=1 \end{displaymath}$

(11)

對此式我們何以作一個有趣的幾何解釋：考慮一族曲線

$\begin{displaymath} y=x^n, \quad n=1,2,\cdots \end{displaymath}$

它們將單位正方形分割成無窮多個領域，例如 y=x^n-1 與 y=xⁿ 在區間 [0,1] 上所圍成的面積為

$\displaystyle \int_0^1(x^{n-1}-x^n)dx$	=	$\displaystyle \int_0^1x^{n-1}dx-\int_0^1x^ndx$
	=	$\displaystyle \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} = \frac{1}{n(n+1)}$	(12)

再兩邊求和就得到(11)式。參見圖 7。

圖7

Jakob Bernoulli（1654～1705）利用惠更斯級數，判別 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$ 之收斂：因為

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^2}&<&\frac{2}{n(n+1)}\\ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}&<& \sum_{n+1}^\infty {2\over n(n+1)}=2 \end{eqnarray*}$

因此，

$\begin{displaymath} \frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}+\cdots \end{displaymath}$

(13)

收歛且其和小於 2，但求不出和來。一直等到1734年，才由 Euler（1707～1783）求得和為 $\frac{\pi^2}{6}$ 。

[網站編輯註：Euler 的求法，可以參閱〈閒話尤拉的絕招〉一文。]

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編輯：簡立欣 ∕ 校對：簡立欣 ∕ 繪圖：張琇惠

最後修改日期：5/26/2002