級數求和法 (第 6 頁)

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級數求和法（第 6 頁）

余文卿

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．原載於數學傳播第十五卷第四期
．作者當時任職於中央研究院數學所研究員，借調至中正大學應數所
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6. 結論

對任意多項式 $P(x)=(x+\delta_1) \cdots (x+\delta_k)$ ，所對應的級數 $\sum_{n=1}^\infty P(n)^{-1}$ 的和均可用 $\log\Gamma(1+x)$ 的導函數與高階導函數的函數值表示出來，特別是

結論一: 若 $\delta_1,\cdots,\delta_k$ 是相異正整數，則級數和是一有理數，即

$\begin{displaymath}\sum_{n==1}^\infty\frac{1}{P(n)}=-\sum_{j=1}^k\frac{1}{P'(-\delta_j)}(\sum_{m=1}^{\delta_j}\frac{1}{m})\end{displaymath}$

結論二:若 $\delta_1,\cdots,\delta_k$ 是相異正有理數，則級數和可表示為

$\begin{displaymath}\sum_{n==1}^\infty\frac{1}{P(n)}=-\sum_{j=1}^k\frac{1}{P'(-\delta_j)}\frac{\Gamma'(1+\delta_j)}{\Gamma(1+\delta_j)}\end{displaymath}$

而

$\begin{eqnarray*} \frac{\Gamma'(q/p)}{\Gamma(q/p)}+\gamma &=&-\sum_{j=1}^\infty... ...um_{j=1}^p(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi j}{p})\sin{\frac{2\pi jq}{p}} \end{eqnarray*}$

由多項式所定出的級數林林總總，自不能盼望能寫出每一級數的和；即使是最簡單的 Riemann zeta-函數 $\zeta(s)$ ； $\zeta(2n+1)\quad\quad(n\in N)$ 的值到底是有理數或無理數都無法清楚（只証出 $\zeta(3)$ 是無理數），更別想將級數和表示出來；像康教授提出的簡單級數 $\sum_{n=0} ^\infty\frac{1}{(3n+1)^2}$ ，和雖能表示為

$\begin{displaymath}\frac{1}{9}F(\frac{1}{3})=1+\frac{1}{9}\int_0^\infty\frac{te^{-t/3}dt}{e^t-1}\end{displaymath}$

但無法進一步將這積分的值求出。底下我們列出一些經由上面方法所計算出來的級數和，有興趣的讀者可動手驗證

$\begin{eqnarray*} 1.&& \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2(2n+1)^2}=\frac{7\pi^2}{24}+... ...i^2}{225}\csc^2{\frac{\pi}{5}}-\frac{\pi}{45}\cot{\frac{\pi}{5}} \end{eqnarray*}$

: 1.Minking Eie, On a Dirichlet series associated with a polynomial, Proceeding of AMS, vol.110, no.3, 1990 (583 590).
: 2.Minking Eie,On special values of Dirichlet series associated with polynomials of severial variables, manuscript 1991.

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編輯：石莉君 ∕ 校對：康明軒

最後修改日期：4/26/2002