級數求和法 (第 2 頁)

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級數求和法（第 2 頁）

余文卿

．原載於數學傳播第十五卷第四期
．作者當時任職於中央研究院數學所研究員，借調至中正大學應數所
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2. Kronecker 極限式

有名的 Riemann zeta-函數 $\zeta(s)$ 的定義是

$\begin{displaymath}\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\quad,\quad \mbox{Re}s>1\end{displaymath}$

視為 s 的解析函數， $\zeta(s)$ 在 s=1 有一單純極點 (simple pole)；且 $\zeta(s)$ 在 s=1 的展開式是

$\begin{displaymath}\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\gamma+a_1(s-1)+a_2(s-1)^2+\cdots\end{displaymath}$

其中 γ 是有名的 Euler 常數，定義是

$\begin{displaymath}\gamma=\lim_{n\rightarrow\infty}(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}-\log n)\end{displaymath}$

像上面求出

$\begin{displaymath}\lim_{s\rightarrow\infty}(\zeta(s)-\frac{1}{s-1})=r\end{displaymath}$

的式子一般通稱為 Kronecker 極限式；如 Hurwitz zeta 函數

$\begin{displaymath}\zeta(s;\delta)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+\delta)^s}\quad , \\ \mbox{Re}s>1 \quad,\quad \delta>-1\end{displaymath}$

的 Kronecker 極限式是

$\begin{displaymath}\lim_{s\rightarrow\infty}(\zeta(s;\delta)-\frac{1}{s-1})=-\frac{\Gamma'{(1+\delta)}}{\Gamma{(1+\delta)}}\end{displaymath}$

亦即 $\zeta(s;\delta)$ 在 s=1 附近的展開式是

$\begin{eqnarray*} \zeta(s;\delta)=\frac{1}{s-1}-\frac{\Gamma'{(1+\delta)}}{\Gamma{(1+\delta)}} &+&b_1(s-1)+b_2(s-1)^2+\cdots \end{eqnarray*}$

這裡的 $\Gamma(s)$ 是階乘函數；對任意正整數 n， $\Gamma{(n+1)}=n!$ ；又 $\Gamma(s)$ 滿足泛函方程式 $\Gamma{(s+1)}=s\Gamma(s)$ ；把這方程式兩邊取對數而對s微分，則得出

$\begin{displaymath}\frac{\Gamma'{(s+1)}}{\Gamma{(s+1)}}=\frac{1}{s}+\frac{\Gamma'(s)}{\Gamma(s)}\end{displaymath}$

利用 $\Gamma'(1)=-\gamma$ ,可導出

$\begin{displaymath}\frac{\Gamma'{(n+1)}}{\Gamma{(n+1)}}=(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n})-\gamma \quad,\quad n \in N \end{displaymath}$

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編輯：石莉君 ∕ 校對：康明軒

最後修改日期：4/26/2002