![]() ![]() |
.原載於數學傳播第四卷第三期 | ||
與平均有關的不等式
鈴木義一郎
|
在統計學上,原則上是,想求出與實際比較相近的結果。因此,不等式比等式更具有重要而有效的地位。下面我想介紹與平均有關的各種不等式。
對於兩正數 a,b 我們考慮下列三種平均
![]() 這是我們熟悉的三種平均,分別叫作 a,b 的算術平均(或相加平均),幾何平均(或相乘平均),調和平均。我們知道這三個平均之間,滿足下列不等式: ![]() 前面的不等式,利用 ![]() 就可得到其證明。後面的一段不等式。利用前面結果,可以如下面而得到其證明。即 ![]() 其次讓我來介紹一下,較高級一點的證明。幾何平均我們可以改寫成: ![]() 然後再查看下圖我們就可以知道其結果。
因為
![]() 我們稱這個數為 a,b 的 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]()
這種結果,若有兩個以上的數時又如何呢?若 x1, x2, x3,…,xn 為 n 個正數,其算術平均,幾何平均,調和平均分別為
![]() 當 n=4 時,利用 n=2 的結果,我們可以證明如下: ![]() 但是,當 n=3 時就不能如此證明。
現在我們利用數學歸納法來證明看看。假如當 n=k 時,其算術平均數不少於幾何平均,又設
![]() 則 ![]() 所以 ![]() 另外還有更巧妙的證法是,先設 ![]() 但此處的 R(a) 表示滿足 ![]() 的範圍。顯然 fn 具有 ![]() 的漸化性質。因此可得 ![]() 的性質。因此對於 n 個正數 x1,x2,…,xn,設 ![]() 則 ![]()
|
對外搜尋關鍵字: .不等式 .標準差 .一般化平均 .分佈函數 .Stieltjes積分 .變異數 .共變差 .Holder不等式 .Minkowski不等式 .相關係數 .k次絕對動差 |
|
![]() |
(若有指正、疑問……,可以在此 留言 或 寫信 給我們。) |
![]() |
EpisteMath (c) 2000 中央研究院數學所、台大數學系 各網頁文章內容之著作權為原著作人所有 |
編輯:朱安強 | 最後修改日期:4/26/2002 |