與平均有關的不等式 (第 2 頁)

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與平均有關的不等式（第 2 頁）

鈴木義一郎
翻譯：邱日威（師大數學系）

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．原載於數學傳播第四卷第三期
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平均偏差與標準偏差

在統計學中，平均偏差的用處不大，但標準差（或標準偏差）的用處是顯著的，現在我們來考慮，以

$\begin{displaymath} p(x_i)=p_i,\quad i=1,2,\cdots\cdots \end{displaymath}$

為其機率函數的離散型機率變數 X，而稱

$\begin{eqnarray*} \delta &=&\delta\{X\}=\sum_{i=1}^n\vert x_i-\mu\vert p_i \\ \sigma &=&\sigma\{X\}=\sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2p_i} \end{eqnarray*}$

分別為 X 的平均偏差，標準差（上式中 $\mu = E \{X\}=\sum_{i=1}^nx_ip_i$ ）。我們可以證明

$\begin{displaymath} \delta \leq \sigma \eqno{(1)} \end{displaymath}$

證：由於

$\begin{eqnarray*} \lefteqn{ \sum_{i=1}^n(\vert x_i-\mu\vert-\delta)^2p_i } \\ ... ... \\ &=& \sigma^2 -2\delta^2+\delta^2 \\ &=& \sigma^2-\zeta^2 \end{eqnarray*}$

可知，這值不能為負，因此， $\delta^2 \leq \sigma^2$ ，於是(1)的不等式成立。普通稱

$\begin{displaymath} \beta_k=E\{ \vert X\vert^k\}=\sum_{i=1}^n\vert x_i-\mu\vert^kp_i \end{displaymath}$

為 X 的 k 次絕對動差。對於這些 X 的絕對動差，我們又可以得到下列不等式

$\begin{displaymath} \beta_k^{\frac{1}{k}} \leq \beta_{k+1}^{\frac{1}{k+1}} \eqno{(2)} \end{displaymath}$

證：因為

$\begin{eqnarray*} 0 &\leq& \sum_{i=1}^n \Big\{y \big\vert x_i-\mu \big\vert^{\... ...{2}} \Big\} p_i\\ &=& \beta_{v-1}y^2 + 2\beta_vy + \beta_{v+1} \end{eqnarray*}$

上式對於 y 的任何值成立，因此其判別式必不大於零。則

$\begin{displaymath} \beta_v^2-\beta_{v-1}\beta_{v+1}\leq 0 \end{displaymath}$

所以

$\begin{displaymath} \prod_{v=1}^{k}\beta_v^{2v} \leq \prod_{i=1}^{k}\beta_{v-1... ... (\prod_{v=1}^k B_v^{2v})\frac{\beta_{k+1}^{k}}{\beta_k^{k+1}} \end{displaymath}$

所以

$\begin{displaymath} \beta_k^{k+1} \leq \beta_{k+1}^{k} \end{displaymath}$

因而我們可以得到不等式(2)的證明。

當 k=1 時，不等式(2)變成不等式(1)。這個證法，當 X 為連續型機率變數時也同樣可以使用。又設

$\begin{displaymath} \begin{eqalign} y_i &= (\vert x_i-\mu\vert p_in)^{\frac{1}{k}}, \quad i=1,2,\cdots,n, \\ \phi(t) &= t^k \end{eqalign}\end{displaymath}$

則 $\beta_k^{\frac{1}{k}}$ 變成 $(y_1,y_2, \cdots, y_n)$ 的 $\phi$ 平均。

其次我們來討論

$\begin{displaymath} \begin{eqalign} D(a) &= \sum_{i=1}^{n} \vert x_i-a\vert p_i \\ S(a) &= \sum_{i=1}^{n} (x_i-a)^2p_i \end{eqalign}\end{displaymath}$

很顯然可以看出， $D(\mu)=\delta$ ， $S(\mu)=\sigma^2$ ，且不等式

$\begin{displaymath} S(a) \geq \sigma^2 \eqno{(3)} \end{displaymath}$

恆成立。可是 D 就不能有那麼單純的關係式。不等式(3)表示，繞點 a 的二次動差，S(a) 當 $a=\mu$ 時取其最小值 $\sigma^2$ ，換句話說，當做散佈的測度來討論二次動差時，代表值最好取平均較為妥當。（當時二次動差變成變異數 $\sigma^2$ ）。下面我們來證明不等式(3)。

$\begin{eqnarray*} S(a)&=&\sum_{i=1}^{n} (x_i-a)^2p_i =\sum_{i=1}^{n} (x_i-\mu)^2p_i+(\mu-a)^2 \\ &=&\sigma^2+(\mu-a)^2 \geq \sigma^2 \end{eqnarray*}$

D 稍為複雜一點，首先把變數做重新排列，使其成為

$\begin{displaymath} x_1 < x_2 < \cdots x_n \end{displaymath}$

因為

$\begin{eqnarray*} D(x_j)&=& \sum_{i=1}^{j} (x_j-x_i)p_i+\sum_{i=j+1}^{n} (x_i-x_j)p_i \\ &=& (2\sum_{i=1}^{j}p_i-1)x_j+\mu-\sum_{i=1}^{j} x_ip_i \end{eqnarray*}$

因此可得

$\begin{displaymath} D(x_j)-D(x_{j+1})=(2\sum_{i=1}^{j} p_i-1)(x_j-x_{j+1}) \end{displaymath}$

現在令滿足

$\begin{displaymath} \sum_{i=1}^{j-1} p_i \leq \frac{1}{2} \leq \sum_{i=1}^{j} p_i \end{displaymath}$

的 j 為 j^*，則可得

$\begin{displaymath} D(x_1) \geq \cdots \geq D(x_{j^*-1}) \geq D(x_{j^*}) \leq D(x_{j^*+1}) \leq \cdots \leq D(x_n) \end{displaymath}$

故，D(a) 在 a=a₀（在 x_j^* 近傍的中位數）時，取其最小值。

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編輯：朱安強

最後修改日期：4/26/2002