與平均有關的不等式 (第 4 頁)

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與平均有關的不等式（第 4 頁）

鈴木義一郎
翻譯：邱日威（師大數學系）

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．原載於數學傳播第四卷第三期
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變異數與共變差有關的不等式

最後我們來討論有關含有兩變數動差的不等式。設為 (X,Y) 為連續型機率變數而其機率密度函數為 h(x,y)，則

$\begin{eqnarray*} f(x)&=&\int h(x,y)dy \\ g(y)&=&\int h(x,y)dx \end{eqnarray*}$

就分別成 X,Y 的機率密度函數。又

$\begin{eqnarray*} \mu_x&=& \int xf(x)dx \\ \mu_y&=& \int yf(y)dy \\ \sigma_x^2... ...dy \\ \gamma_{xy}&=& \int \!\! \int(x-\mu_x)(y-\mu_y)h(x,y)dxdy \end{eqnarray*}$

分別稱做 X,Y 的平均，變異數，X,Y 的共變差。對於這些我們亦可證出下列不等式

$\begin{displaymath} \gamma_{xy}^2 \leq \sigma_x^2\sigma_y^2 \eqno{(4)} \end{displaymath}$

更一般化的不等式是，對於任意的機率變數 X,Y 間所成的 Hölder 不等式

$\begin{displaymath} E\vert XY\vert \leq (E\vert X\vert^r)^{\frac{1}{r}}(E\vert Y\vert^s)^{\frac{1}{s}} \eqno{(5)} \end{displaymath}$

但 r,s 滿足

$\begin{displaymath} r>1,\quad \frac{1}{r}+\frac{1}{s}=1 \eqno{(6)} \end{displaymath}$

若在不等式(5)中的 X,Y 以 $X-\mu_x$ , $Y-\mu_y$ 代替，而 r=s=2，則(5)就成為不等式(4)。為了證明不等式(5)，首先我們來證明

$\begin{displaymath} \vert ab\vert \leq \frac{\vert a\vert^r}{r}+\frac{\vert b\vert^s}{s} \eqno{(7)} \end{displaymath}$

（但 r,s 滿足(6)式）設函數

$\begin{displaymath} \phi(\lambda)=\frac{1}{r}\lambda^r +\frac{1}{s}-\lambda \end{displaymath}$

則由其微分可知， $\phi(\lambda)$ 在 $\lambda=1$ 時取最小值 0。因此可導出不等式

$\begin{displaymath} \lambda \leq \frac{1}{r}\lambda^r+\frac{1}{s} \end{displaymath}$

再令 $\lambda=\vert a\vert\vert b\vert^{-\frac{s}{r}}$ ，則

$\begin{displaymath} \vert a\vert\vert b\vert^{-\frac{s}{r}} \leq \frac{1}{r}\vert a\vert^r\vert b\vert^{-s}+\frac{1}{s} \end{displaymath}$

兩邊再乘以 |b|^s，則由 $-\frac{s}{r}+s=s(1-\frac{1}{r})=1$ ，可得不等式(7)的結果。

然後在不等式(7)中，令

$\begin{displaymath} a=\frac{X}{(E\vert X\vert^r)^{\frac{1}{r}}}, \quad b=\frac{Y}{(E\vert Y\vert^s)^{\frac{1}{s}}} \end{displaymath}$

則

$\begin{displaymath} \frac{XY}{(E\vert X\vert^r)^{\frac{1}{r}}(E\vert Y\vert^s)^{... ...^r}{rE\vert X\vert^r} +\frac{\vert Y\vert^s}{sE\vert Y\vert^s} \end{displaymath}$

兩邊再取其期望值，則可得

$\begin{displaymath} \frac{E\vert XY\vert}{(E\vert X\vert^r)^{\frac{1}{r}}(E\vert Y\vert^s)^{\frac{1}{s}}} \leq \frac{1}{r}+\frac{1}{s}=1 \end{displaymath}$

於是我們得到了不等式(5)的證明。

用同樣方法又可以證明 Minkowski 不等式

$\begin{displaymath} (E\vert X+Y\vert^r)^{\frac{1}{r}} \leq (E\vert X\vert^r)^{\frac{1}{r}}+(E\vert Y\vert^r)^{\frac{1}{r}} \qquad r \geq 1 \end{displaymath}$

當我們討論二變數的機率變數 (X,Y) 時，將其共變差標準化所得的值

$\begin{displaymath} \tau_{xy}=\frac{\gamma_{xy}}{\sigma_x\sigma_y} \end{displaymath}$

具有很重要的地位。我們稱這值為 X 與 Y 的相關係數，由不等式(4)可知，不等式

$\begin{displaymath} -1 \leq \tau_{xy} \leq 1 \end{displaymath}$

成立。當 $\tau_{xy}=1$ （或 -1）時，(X,Y) 的分佈集積在具有正（或負）的斜率的直線上，因此 $\tau_{xy}$ （或 $\vert\tau_{xy}\vert$ ）被認為是衡量二維分佈的直線傾向的值。又 $\tau_{xy}=0$ 時， $\gamma_{xy}=0$ ，這時 X,Y 可能是互相獨立。換句話說，若 X,Y 互為獨立時， $\gamma_{xy}=0$ ，但其逆就不一定成立。

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編輯：朱安強

最後修改日期：4/26/2002