賴漢卿

為物理學而學的數學 為工程而學數學 為計算機科學的數學 經濟學與數學

最近翻閱日本《Mathematical seminare》，5 - 1979， pp.68-85，發現了非數學本科的人，報導他們對數學的看法，以及他們所用到的數學，對數學學習方法等等。我以為數學這一門為一般學生所畏懼，為現實社會所冷淡，也為一般人所不易理解數學是什麼的今天，似乎可借助於這些非數學專家們，在數學領域中所獲得的經驗與觀點，傳播給讀者參考，或許能收些許助益，並開拓其視野。下面大都是翻譯的資料。

為物理學而學的數學

做為手段的數學:
進入自然科學系的人，或想進這些系的人，大概不少。因此這些人，對於數學就各有其目的，其中欲為數學本身繼續研究，有志為數學家的人，也必定會有，這些人當然就以數學為目的直走，但為數並不多，大部分的人大概都不以數學本身為目的，可說只把數學當做謀求自己工作之發展的一手段而已。如同學習外國語之目的相似，那些已進入自然科學界的，以及準備想進去的，是為英語去讀英語，至於英語學或英文學並不是其本身的目的，求取將來以英語寫成的自然科學書籍或論文，能毫無不自由地閱讀，同時自己也可用英語寫些報告或論文，或能與做同方面學問之外國人交談為目的，他們就不是以學英語本身為目的，而是當做一種手段而已。

要這麼說，目的與手段似乎無太嚴密的區別。在學習過程中，用手段使用數學的內容，可能也會浮起興趣來，而原以數學本身為目的的人，也可能對應用方面浮起興趣，以致原欲做為目的的數學，及做為手段的數學都變成無法區別，而混為一體了。舉個可能稍為誇大之例，如牛頓在思考萬有引力時，看來是位物理學家，而在以微積分之創始者來說，那是位數學家，硬是把他分做數學家或物理學家，實際上並無多大意義。

這些我們暫且忘了它不提，只以多數人使用數學做為其手段者，來進行我們的話題。

數學表現的物理學意義:
如果說以使用數學當做手段，其道具之長處與優點，就須充分瞭解。因而對此道具要如何使用，就非得熟練不可。以用數學做為手段的人，讀數學時是學習如何使用為其主要目的。所謂使用法，如以研究物理學的人，他就很會將物理學與數學結合在一起，於是他對於在什麼範圍內，有可能結合;超過了那個範圍，則不可能結合，必須要有充分的瞭解，否則他所得的「數學」也就止於演習而已，與物理學就毫無關連了。為了要理解物理學現象，必須要能以使用數學做為手段，同時也得不忘物理學思考之發展。在物理學中，常常會出現種種數學的表現，但對於其物理意義 (physical meaning)則非時常反省不可。

說「這些結果，是由計算機算出來的，絕不可能有錯誤」的人是有的，計算機的數值計算即使無誤，但計算機程式的想法或設計若有誤，則以此錯誤的程式命令計算機「算算這個」，其結果當然定是錯的。故不管你使用多高級的「數學」，若其用法不當，其結果也就無意義了。與之相反的，一件好像是簡單的「數學」但與物理學結合得好， 則會產生很深奧的結果。例如

在數學來說，那只不過是極為簡單之二階微分方程式，但它卻是牛頓的壯大堂皇的學理基礎。公式

f=ma

可寫成更一般的形式為

y=ax

這是 x與 y的一次式。這個式子卻是表示種種物理事象的關係式。比方說： a為物體運動時之定速度， x視為時間，則 y就是其移動的距雕。若 a視為利率， x為期間，則 y為此期間所得到的利息。又當 a為彈性係數時， x為微小的彎曲，則 y為此時所產生的張力 (stress)。要是 a為鐵絲的線密度， x為其長度，則 y為鐵絲全體的重量， …。不管 x是代表時間、期間、彎曲或線長度，上式都能成立，也就是說 x可表任何東西，說大些，這是數學所與的光榮。但在物理學中就不那樣廣泛，它只是 x所表示何物之問題而已。這就是以數學的數學，以手段之數學有所不同之處。

另一方面再回到

之式子來看。 d²x/dt²在 x - t坐標所畫之曲線中，它不外乎表其彎曲度，即斜率之變化率而已。畫出曲線時，彎度較大的，就具有較大的力量， d²x/dt² > 0則其力 f為正，此時曲線是向上凹，表示力是向上的意思。這種曲線的曲率是掌握著力的大小與方向。再舉個簡單的例子，如數式

寫成

則為並聯電阻的關係式。如果寫成

則為凸鏡像之位置與焦點距離之式。 如圖，若 f與 u給定，則 v之值馬上可求得，此式不外乎是直線

y=ax+b

在 x軸上取點 (u，0)，截 y軸於點 (0， v)，此時之直線方程式為

且該直線通過 x=f; y=f，因之得

又如以 Δ 之距離，去程與回程的速度分別為 v₁,v₂，則全部的平均速度為 V 時，其間的關係式為

總之

是一個數式，這個式子可表示電阻之式，鏡像之式，速度之式等等。所以在物理上應用數學做為手段，是很有趣的情形。要是如在並聯電阻全體中流過電流為 I 時，分配到電阻是 r₁,r₂ 之電流設為 i₁,i₂，則全電力 W 為最小的條件該如何呢?那就是從電力

W=(i₁+i₂)²R-(i₁²r₁+i₂²r₂)

對於 i₁,i₂ 分別微分令為 0 後，求得之式為

這是使 W為最小之條件，所以「條件該如何」是具有其物理意味的。

依目的而為的數學:
前面一直以簡單且容易的話題寫來，如果在物理上，以數學做為手段，其重要且較高水準之例子還有很多。要是欲以使用數學為手段，按其目的，非得真正知道數學不可，這該是做物理的人所必要的「學數學的方法」。