談談卜松過程 (Poisson Process) (第 5 頁)

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談談卜松過程 (Poisson Process) （第 5 頁）

孫自健;石仲拓

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．原載於數學傳播第二卷第四期
．作者當時任教於美國韋恩州立大學數學系;美國密西根大學數學系
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附錄(B)

我們要證明等候時間 T₁, T₂,… 是獨立的隨機變數，且具有相同的分佈 $P(T_1 \leq t) = 1 - e^{-\lambda t}$ , $t \geq 0$ 。我們已經證明了 T₁ 有這樣的分佈，我們只需再證明

P(T₁>t₁,T₂>t₂) = P(T₁>t₁)P(T₁>t₂)

即 T₁,T₂ 是獨立的而且具有相同分佈的，至於推論到 T₁,…,T_n 的情形，證明是相似的。

對於一個很大的 N，假設

$\begin{displaymath} \frac{m-1}{N} \leq t_1 \leq \frac{m}{N} \quad \mbox{{\fontfa... ...ont \char 184}} \quad \frac{j-1}{N} \leq T_1 \leq \frac{j}{N} \end{displaymath}$

令 $R_N = T_1 + T_2 - \frac{j}{N}$ ，則 $R_N \leq T_2$ $< R_N + \frac{1}{N}$ 。於是

$\begin{eqnarray*} && P(T_1>t_1,T_2>t_2) \\ &\approx& P(T_1 > \frac{m}{N},R_N>t_... ...T_1 > \frac{m}{N})P(T_1 > t_2) \approx P(T_1 > t_1) P(T_1 >t_2), \end{eqnarray*}$

令 $N \rightarrow \infty$ 則得(11)式。

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編輯：康明軒 ∕ 繪圖：簡立欣

最後修改日期：4/26/2002