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談談卜松過程 (Poisson Process) （第 2 頁）

孫自健;石仲拓

 

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．原載於數學傳播第二卷第四期
．作者當時任教於美國韋恩州立大學數學系;美國密西根大學數學系
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二、

假定對任意一個 t，X(t) 是在時間 t 時的一個隨機變數， 我們就叫這一組隨機變數 $\{X(t) , 0 \leq t < \infty\}$為一個隨機過程 (random process或stochastic process)。

定義一 假定一個隨機過程 $\{X(t) , 0 \leq t < \infty\}$ 滿足下列的條件時， 我們就稱它為一個卜松過程 (Poisson process)，

(i) X(0)=0

(ii)對於任何一列時間 $0 \leq s_1 \leq t_1$ $\leq s_2 \leq t_2$ $\leq$ … $\leq s_n \leq t_n$，n 為一任意整數

\begin{displaymath} X(t_1) - X(s_1),X(t_2)-X(s_2), \cdots, X(t_n) - X(s_n) \end{displaymath}

是 n 個獨立隨機變數。

(iii)對任何 $t \geq 0$,$s \geq 0$,X(t)-X(0)（=X(t)）和 X(t+s)-X(s) 有相同的機率分佈。

(iv)對任何一個 t 和一個 k

\begin{displaymath} P(X(t)=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda t} \quad k=0,1,2\cdots \end{displaymath}

其中 λ 是一給定的參數。

我們先用一個實例來解釋這些條件的意義。 假想我們在一條公路上某點觀察通過這點的交通量。 令 X(t) 為從時間 0 到時間 t 通過這點的汽車總數。 則條件 (i)表示在時間 0 時，通過的車數是 0。 條件(ii)說在互不相交的時段 (time intervals) 內通過的車數是相互獨立的。 條件(iii)說只要時段長度相同， 不同時段內通過的車數有相同的機率分佈。 條件 (iv) 說 X(t) 有一個具有參數 $\lambda t$ 的卜松分佈。 條件 (i) 是合理的。 如果觀察的全部時間不太長的話， 條件(ii)和 (iii)也是很合理的。 條件(iv)似乎有點突然，但是在第三節裏我們將會談到它也是很合理的， 而且一般實測的交通量的紀錄也支持這一假定的。

其他類似的例子，如 X(t) 代表在時段 [0,t] 內某旅館內總共打進來的電話次數，或 X(t) 代表某醫院在時段 [0,t] 內來掛號的病人個數等等， 假定為一卜松過程，都與事實很相近。 所以卜松過程的應用非常之廣。

對於卜松過程一般教科書裏也常採用下面的定義。

定義二 假如一個隨機過程 $\{X(t) , 0 \leq t < \infty\}$ 滿足以上的條件 (i),(ii),(iii) 及

(iv') $P(X(h)=0) = 1 - \lambda h + o(h)$, $P(X(h)=1) = \lambda h + o(h)$, $P(X(h)\geq2)=o(h)$。 當 h 很小時，此地 λ 為一常數。
則我們稱 $\{X(t) , 0 \leq t < \infty\}$ 為一卜松過程。

這裏我用到符號 f(t)=o(t) 假如 $f(t)/t \longrightarrow 0$， 當 t $\longrightarrow$ 0 。

以下我要證即在條件 (i),(ii) 和 (iii) 之下， 條件 (iv) 和 (iv') 是相等的，所以定義一和定義二相等的。

先證 (iv) $\Rightarrow$ (iv')：
條件(iv)說

\begin{displaymath} P(X(h)=k)=\frac{(\lambda h)^k}{k!}e^{-\lambda k}, \quad k=0,1,2\cdots \end{displaymath}

所以當 k=0 及 1 時

\begin{eqnarray*} P(X(h)=0)=e^{-\lambda h} &=& 1 -\lambda h + \frac{ (\lambda h)... ... &=& \lambda h (1-\lambda h + o(h)) \\ & = & \lambda h + o(h) , \end{eqnarray*}


於是

\begin{displaymath} P(X(h) \geq 2) = 1 - P(X(h)=0) - P(X(h)=1)=o(h) \end{displaymath}

所以我們得到 (iv')。

再證 (iv') $\Rightarrow$ (iv):
令

Pk(t) = P(X(t)) =k) (3)

於是

\begin{eqnarray*} P_k(t+h) &=& P(X(t+h)=k) \\ &=& P( X(t) =k,X(t+h)-X(t)=0)\\ ... ...\\ &=& P_k(t) - \lambda h P_k(t) + \lambda h P_{k-1}(t) + o(h) \end{eqnarray*}


所以

\begin{displaymath} \frac{P_k(t+h)-P_k(t)}{h} = - \lambda P_k(t) + \lambda P_{k-1}(t) + o(1) \end{displaymath}

以上是假定 $k \geq 1$。如 k=0 上式也成立，惟右邊第二項不存在。

令 $h \longrightarrow 0$ 得到方程式

\begin{displaymath} \begin{cases} P_k'(t) = -\lambda P_k(t) + \lambda P_{k-1}(t)... ...231} $k=1,2,\cdots$\ } \\ P_0'(t) =-\lambda P_0(t) \end{cases}\end{displaymath} (4)

方程式 (4) 通常叫做科爾莫果爾夫方程式 (Kolmogorov equation)。

先解 $ P_0'(t) =-\lambda P_0(t) $ 得

\begin{displaymath} \log P_0(t) = -\lambda t+ \mbox{const. \quad {\fontfamily{cw... ...ries{m}\selectfont \char 67} \quad} P_0(t) = c e^{-\lambda t} \end{displaymath}

用初值條件 P0(0) = P(X(0)=0)=1，得到 c=1，所以 $P_0(t) = e^{-\lambda t}$。 再用數學歸納法，解 $P_k'(t) = -\lambda P_k(t) + \lambda P_{k-1}(t)$，注意初值條件是 $P_k(0) = P(X(0)=k)=0,k \neq 0$，則可得到

\begin{displaymath} P_k(t)=P(X(t)=k)=\frac{(\lambda t)^k}{k!} e^{-\lambda t} , \quad k=1,2,\cdots \end{displaymath}

於是我們得到條件(iv)。

   

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編輯：康明軒 ∕ 繪圖：簡立欣 最後修改日期：4/26/2002