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．原載於數學傳播第二卷第三期
．作者當時任教於中央數學系
•註釋
海外學人相親記
李宗元
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．原載於數學傳播第二卷第三期 ．作者當時任教於中央數學系 •註釋 | ||
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海外學人相親記
李宗元 |
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話說海外學人吳博士 1 ，年已四十有餘，至今卻仍孑然一身。 當年聽信了什麼書中自有黃金屋、書中自有顏如玉一類的邪言， 摒棄一切世事雜念，一味拼命讀書，補習、聯考、出國，只覺人生就此一途。皇天不負苦心人，終於身經千試，好不容易稍為熬出了頭，在國外大學裡賺到一張長期飯票 (tenure)，雖說談不上什麼黃金屋，倒也羨煞好些別人。可是顏如玉卻連個影子也還沒有。吳家老母，就這寶貝天才一個，想到不知何日才能抱孫，心中也煞是著急。曾經三番四次勸他回國一遊，物色物色，可是吳博士飯票尚未到手，生怕耽擱了重要的研究，被他人搶了先，所以不敢輕易請假。現在研究有成，正好又有什麼經建之類的會議相邀，遂毅然放下重要工作，回國一趟，省親相親兼舉並得。這邊吳母聽了，自然大喜，立刻四下拜託，一下子約定了三十幾門人家，準備在一個多月內一一去相親。原來吳博士仍屬青年才俊，國內報章還會為他吹捧過一番，再加又有外國飯票、居留，自非你我之輩所能及，難怪各門閨秀趨之若鶩。書中自有顏如玉，此言似仍不虛。 各位看官，以上故事純屬虛構，可是在我們今日社會裏，這樣的事也不是沒有的吧？既為虛構，各位且容小的再把故事趣味化一點：卻說吳母年老糊塗，各門親事，均由三姑六婆牽線，對方家世、容貌、才學等等條件，自己事前一無所知。或許吳母急著抱孫，或許是她個性直爽，凡事不喜拖泥帶水，因此她向兒子訂下一個規定：「要就要，不要就不要」。此話何解？吳學人每看完一家，就得作個決定，如果中意要了，以後的便不需再看， 如果不中意，就得回絕人家，才能再看下面一家，（回絕過的，不能後悔再回頭，面子問題也）。吳學人一聽，覺得這樣規定，雖然直接了當，卻是很不合理。但是母命難違，心想反正有三十多位閨秀等著瞧，機會不少，自己在國內時間又無多，所以便答應就這麼辦罷。 2 諸君既為《數播》讀者，頭腦想必不差，請想想看，吳學人是否能事先決定一個辦法，使他選中第一名閨秀的機會最大？ （「辦法」=「策略」，「機會」=「機率」）。這裏我們當然假定，按照吳學人的主觀標準，我們可將這三十幾位閨秀一一排出名次來（各人名次不同）。當然，每位閨秀倒底是第幾名，吳學人在沒有全部看完之前是無法知道的，（「只有天知道」），但是如要等他全部看完，卻又大概來不及了，（他頂多只能選最後一位）。 這個問題不大實際嗎？我可以使他既實際又有益：我有 n 張卡片，每張下面我寫上不同的數字，現在請你一張一張地翻開來。每翻一張，我就問你「要不要？」，你若決定要了，我就送你等於卡片上所寫數目的獎金，你若決定不要，就可以再翻下面一張。現在你跟吳學人的處境完全一樣：「要就要」（以後的卡片就不得再翻），「不要就不要」（以前的獎金便不能回頭再要）。這些獎金的數目可能相差很大，（例如有一元的，有十萬元的），但最大獎金是多少只有我知道。你如真碰到這樣一位捉弄人的財主，這個問題顯然蠻值得你去花花腦筋的。你不能躲避問題說：我得多少都滿意──假如這位財主把規定稍為改變一下：若選不到頭獎，我便一錢也不給！這樣一來，數學問題仍是一樣，但是你卻非花花腦筋不可了。一個不花腦筋的「辦法」是：我要第五張，這樣你能得到頭獎（第一名閨秀）的機會只是 1/n，這顯然「不是辦法」。
你若稍為細心想想，大概會想到下面的辦法:「先放棄前面一半的卡片，（每張仍得翻開來看一看，『心裏有個數』），然後繼續翻下去，第一次碰到比以前獎金都高的一張，我就選定它」。這裏我們假設 n=2k 是偶數。當然，第一名可能在前面一半，（你便失敗了），但是依照這個辦法，至少在下面的情況下，你一定能中到頭獎，這就是：假如第二名在前面 k 張卡片中，而第一名在後面 k 張卡片中。（為什麼？你要先想通這一點才能看以後的）。這個特別情況（「情況」=「事件」）的機會是
（第一名在 2k 個可能位置中要掉進後面 k 個位置裏，然後第二名在剩餘的 2k-1 個位置中，要掉進前面 k 個位置裏。這裏的「然後」，是不是就是指「條件機率」？）
所以依照上面的辦法，你能選中頭獎的機會至少會大於
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| 編輯：洪瑛 | 最後修改日期：4/26/2002 |
