陳省身

早年在中國所受的教育 歐洲的留學生活 數學上與世隔絕 普林斯頓陽光燦爛 數學上進入不惑之年 在西海岸定居 老耄之年的消遣

本文原題 My Mathematical Education。譯自作者於1991.10.28寄給《陳省身文選》編者的複印中。原文已刊在丘成桐主編的文集《Chern-A Great Geometer of the Twentieth Century》(1992)中。本文現收錄在《陳省身──20世紀的幾何大師》（《Chern-A Great Geometer of the Twentieth Century》中譯本），交大出版社出版。

早年在中國所受的教育

我於1923年1月進天津扶輪中學。那是一所四年制的高級中學，我獲准插班入一年級就讀第二學期。該校的數學課程有：

(1)第一年，算術，使用中文課本；

(2)第二年，代數，使用 Hall 與 Knight 的課本；

(3)第三年，幾何，使用 Wentworth 與 Smith 的課本；

(4)第四年，三角學和高級代數，分別使用 Wentworth-Smith 及 Hall-Knight 的課本。

我的老師都很有能力，又極富獻身精神，我做了大量習題。到第四年，我已能做許多 Hall-Knight 的書中引用的劍橋大學榮譽學位考試的題目。

1926年我從扶輪畢業；同年我進南開大學，實際上是跳了兩級，因此我從未上過解析幾何課。更糟的是，我必須參加南開大學的入學考試，其數學試題中解析幾何佔很重的份量。考試前的三個星期，我自學了 Young 與 Morgen 的《數學分析》（Mathematical analysis）如果記得不錯的話，我的考卷位列第二。不過在很長的一段時間內，「圓錐曲線的焦點」這一概念令我大傷腦筋，直到幾年後學了射影幾何學我才茅塞頓開。

進南開大學後，我很快就發現自己做實驗笨手笨腳，於是數學便成為我唯一的選擇。我有幸得姜立夫教授為師-他1918年獲哈佛大學哲學博士學位，導師是 J. Coolidge，論文題目是關於非歐幾里得空間中線球接觸變換的。因此，我在大學第四年，花了許多功夫學幾何，所讀的書中有 Coolidge 的《非歐幾何學》(Noneuclidean Geometry) 與《圓和球的幾何學》(Geometry of the circle and sphere)，Solmon 的《圓錐曲線》(conic sections) 與《立體解析幾何》(Analytic Geometry of Three Dimmensions)，以及 Castelnuovo 的《解析幾何與射影幾何》(Analytic and Projective Geometry) 等。尤其使我著迷的是 Otto Staude 的二卷本著作《線構造》(Fadenkonstruktionen)。二次超曲面的幾何是數學中優美的篇章。我很高興看到 J. Moser 1979年在可積哈密頓系統和譜理論的研究中繼續這方面的工作。（參見3）甚至在今日，研究 Salmon 的東西可能仍是有價值的，至少在我看來是有趣的。

1930年我從南開畢業，去北平清華大學從孫鎕 ^註1 教授工作。孫先生在當時是中國發表數學研究論文的唯一的數學家。孫的研究領域是射影微分幾何，他曾是芝加哥大學 E.P. Lane 的博士生。這個主題由 E.J. Wilczynsky 於1901年創立，是那時已經支配幾何學近一世紀的射影幾何的一個自然產物。我熟悉了這方面的文獻，並寫了幾篇論文，其中包括我的有關射影線幾何的碩士論文。繼 Plücker 與 Klein 之後，線幾何一直是幾何學家們喜愛的主題。事實上，Klein 的學位論文就是關於二次線體的，即 Plücker 坐標下的二次方程所確定的線軌 (line loci)。二次線體具有許多背景中也有許多線幾何的內容。

我的論文研究線匯，即線的二維子流形以及它們的通過二次線體的密切 (osculation)。

在我的研究生學業接近結束時，即大約1934年左右，我開始認識到整體微分幾何（當時稱為大範圍微分幾何）的重要性。我的主要靈感來自 W. Blaschke 的關於微分幾何的那些著作。

很清楚，代數拓撲是整個領域的基礎。而代數拓撲本身當時還處於發展階段。Veblen 於1922年發表的 analysis situs ^註2 引進了「同調不變量」(homology characters) 即根據關聯矩陣得出的 Betti 數和撓係數。Lefschetz 的《拓撲學》於1930年出版，但該書對初學者進入這個領域並無裨益。我曾聽過 Emanuel Sperner 的講課（1933∼1934年）。當時 Sperner 正在北京大學訪問，他的課包含有對 Erhard Schmidt 關於約當曲線定理的證明的嚴密而詳細的論述。我也聽過江澤涵講授的以 Lefschetz 的書為藍本的「位置分析」課，江是 Marston Morse 過去的學生，曾擔任 Lefschetz 的助手。而我當時的感覺是我只是剛剛站在代數拓撲這座偉大殿堂的門口。到1934年 Seifert-Threlfall 的書和1935年 Alexandroff-Hopf 的書問世，情況才有了巨大的變化。

1932年春季，Blaschke 訪問了北平，作了關於「微分幾何中的拓撲問題」的系列演講。這是真正的局部微分幾何。他採用全體微分同胚構成的偽群取代經典微分幾何中的李群，並研究了局部不變量。我能跟上 Blaschke 的演講並去閱讀發表在漢堡大學數學討論會論文集 (Hamburger Abhandlungen) 及其它雜誌上的包含在這同一個總標題下的許多論文。這個主題現在稱為網幾何 (web geometry)。由於有此接觸，之前又已掌握 Blaschke 的微分幾何書中的知識，所以當1934年獲得一筆獎學金時，我決定去漢堡留學。