物理學家研究自然現象，在同樣意義上，數學家研究著數學現象。也許有人會說，物理學家做各種各樣的實驗，而數學家不就是思考嗎？但是，這種情況的「思考」就是思考實驗的意思，例如與「思考」考試題的性質不同。我們知道，對考試問題，只要適當組合某個確定範圍內已知的事實，一小時內一定能夠解決，思考的對象、思考的方法都擺在面前。 而實驗則是為了調查研究原先未知的自然現象，當然其結果就無法猜想，也許什麼結果也得不到。數學也完全一樣，它是探究未知的數學現象的思考實驗，雖說是思考，但思考的對象是未知的，思考些什麼為好也不知道。數學研究的最大困難就在於此。

思考實驗中最容易理解的形式是調查實例。例如考慮偶數最少可表為幾個素數的和的問題。檢查一下實際的偶數，2 是素數不算， 4=2+2,6=3+3,8=3+5,10=5+5,100=47+53,...， 總可以表為二個素數的和。由這一實驗結果，可以猜想「除 2 以外的一切偶數都可表為二個素數的和」的定理成立（這是早就有名的哥德巴赫猜想，現在還沒有解決）。如果這樣幾次調查實例，能夠猜想出定理的形式，以後就可以考慮證明該定理，那麼研究的最初難關就被突破了。當然這是數學，光堆積幾個實例還不是定理的證明，證明還必須另外考慮。

初等數論些定理就是首先從這樣的實驗結果出發引出猜想，然後才證明的。從上個世紀末到本世紀初，由 F. Enriques、G. Castelnuovo 等意大利代數幾何學家得到的驚人成果中，依據實驗的不在少數。實際上，J.A. Todd 在1930年左右發表的論文中曾明確斷言： 「代數幾何是實驗科學」。他們的定理全部得以嚴密的證明還是最近的事。值得注意的是，儘管他們給出的定理證明還很不完全，但是定理卻是正確的。