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.作者任教於香港科技大學數學系 | ||
一、連結、分隔與對稱
——定性平面幾何 項武義 |
定性平面幾何所要研討的主題是「全等形」和「平行性」。在本質上,前者乃是平面對于任給直線的反射對稱性的具體反映,而後者則是三角形的內角和恆等于一個平角 (π) 所表達的「平直性」。在本章中,我們將以一個平面上連結與分隔的基本結構和三個疊合公理為基礎,把定性平面幾何中常用的基本事實,作一次簡明扼要的邏輯推導和系統化整理。而關于平行性的討論,則會留待下一章再作系統整理;亦即在本章的論証中,我們將會完全避免用平行性,所以所証得的結果,在非歐面也同樣成立!
為了簡化敘述起見,往後將會用
在各種各樣的平面圖形之中,三角形乃是最為簡單者;而在各種各樣的三角形之中,最為基本者則首推等腰三角形。究其原因,就是等腰三角形所具有的軸對稱能夠具體而微地反映著平面的反射對稱性,所以它們乃是研討平面幾何之中對稱性的種種表現與推論的基本工具。所以定性平面幾何的首要之務,就是推導等腰三角形的各種各樣的特徵性質,亦即: 等腰三角形的特徵性質:(如 [圖1-1] 所示)
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[ 圖 1-1 ]
上述特徵性質的系統推導如下:
【定理 1.1】:設
証明:設 ![]() ![]()
[ 圖 1-2 ]
[註]:如上所証,
【定理 1.2】:(A.S.A.) 若
証明:若
![]() 顯然和所設 ![]() ![]()
[ 圖 1-3 ]
【定理1.3】:若
証明:由所設
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最後修改日期:6/19/2004 |