一、連結、分隔與對稱 (第 3 頁)

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《基礎幾何學》

一、連結、分隔與對稱
——定性平面幾何（第 3 頁）

項武義

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．作者任教於香港科技大學數學系
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例題和習題

【例題】：

(1)

光的反射定律與極小性：光的反射定律是

「入射線、反射線和平面在反射點的法線三線共面，而且兩者和法線的夾角相等。」

上述定律的幾何意義乃是光反射之途徑是在所有下述通路

$\begin{displaymath}\overline{PX}+\overline{XQ},\quad X\in \ell\end{displaymath}$

之中取極小值。如 [圖1-23] 所示，

$\begin{eqnarray*} && \overline{PA}+\overline{AQ}=\overline{P'A}+\overline{AQ}=\o... ... &\leq& \overline{PX}+\overline{XQ}=\overline{P'X}+\overline{XQ} \end{eqnarray*}$

$\begin{displaymath} \def\fig0123{\epsfxsize =6cm \epsfbox{fig0123.eps}} \xy \xyi... ...x{ {\fontfamily{cwM0}\fontseries{m}\selectfont \cH124}}} \endxy\end{displaymath}$

[ 圖1-23 ]

(2)

給定 $\bigtriangleup ABC$ ，如[圖1-24(i)]所示令 $\ell$ 為 C 點外角的分角線。設 P 是 $\ell$ 上一點， $P\neq C$ ，則恆有 $\overline{AP}+\overline{PB} > \overline{AC}+\overline{CB}$ 。

$\begin{displaymath} \xy \xyimport(5,5){\epsfxsize=4.5cm \epsfbox{fig0124a.eps}}*... ...,4.1)*+{C} ,(5.1,1.7)*+{\ell} ,(-0.5,2.5)*+{\hbox{(ii)}} \endxy\end{displaymath}$

[ 圖1-24 ]

如 [圖1-24(ii)] 所示，令 B^* 為 B 相對于 $\ell$ 的反射對稱點，所以即有 $\overline{PB}=\overline{PB^*}$ 。由此可見，

$\begin{eqnarray*} \overline{AP}+\overline{PB} &=& \overline{AP}+\overline{PB^*} ... ...overline{AC}+\overline{CB^*} \\ &=& \overline{AC}+\overline{CB} \end{eqnarray*}$

(3)

內切圓作圖：對于一個給定的 $\bigtriangleup ABC$ ，唯一存在一個和其三邊相切的圓，稱之為 $\bigtriangleup ABC$ 的內切圓（如 [圖1-25] 所示）。其作圖法如下：

用 [基本作圖1.1]，分別作 $\angle A$ 和 $\angle B$ 的角平分線。則兩線的交點 O' 乃是具有和三邊等距的唯一之點，所以它就是所求作的內心（內切圓圓心）。

$\begin{displaymath} \xy \xyimport(5,5){\epsfxsize=4.5cm \epsfbox{fig0125.eps}}*\... ...*+{A} ,(5.1,-0.15)*+{B} ,(1.85,5.25)*+{C} ,(2.15,2)*+{O} \endxy\end{displaymath}$

[ 圖1-25 ]

(4)

設 $\bigtriangleup ABC$ 和 $\bigtriangleup A'BC$ 具有相同的外接圓，則

$\begin{displaymath}\angle ABC+\angle ACB-\angle BAC=\angle A'BC+\angle A'CB -\angle BA'C\end{displaymath}$

証明：如 [圖1-26] 所示， $\bigtriangleup OBC$ , $\bigtriangleup OCA$ , $\bigtriangleup OAB$ 皆為等腰，所以其底角各別相等，即 [圖1-26] 所示之 $\theta_1$ , $\theta_2$ , $\theta_3$ 。再者，

$\begin{eqnarray*} \angle ABC+\angle ACB-\angle BAC &=& (\theta_1+\theta_3)+(\theta_1+\theta_2)-%% (\theta_2+\theta_3)\\ &=& 2\theta_1 \end{eqnarray*}$

由此可見，上式之角度只和 $\overset{\raisebox{-1ex}{\large$\frown$}}{BC}$ 的大小有關，而和 $\overset{\raisebox{-1ex}{\large$\frown$}}{AC}$ , $\overset{\raisebox{-1ex}{\large$\frown$}}{AB}$ 的大小無關。

[注意：上式中的 $\theta_1$ , $\theta_2$ , $\theta_3$ 乃是有向角。如在 A'' 的情形， $\theta''_3$ 是負向角。]

$\begin{displaymath} \xy \xyimport(5,5){\epsfxsize=5cm \epsfbox{fig0126.eps}}*\fr... ...iptstyle \theta_3} ,(1.45,1.36)*+{\scriptstyle \theta_3} \endxy\end{displaymath}$

[ 圖1-26 ]

【習題】：

(1)

鏡子成象的幾何原理：令 P' 是 P 對于 $\ell$ 的反射對稱點。試証起始于 P 點的反射線的延長線共交于 P' 點（如 [圖1-27] 所示）。

$\begin{displaymath} \xy \xyimport(5,5){\epsfxsize=6cm \epsfbox{fig0127.eps}}*\frm{} ,(0.35,4.5)*+{P} ,(0.35,0.15)*+{P'} ,(5.2,2.2)*+{\ell} \endxy\end{displaymath}$

[ 圖1-27 ]

(2)

試証明在[定理 1.10]中的「大角對大邊」部分。

(3)

試証明在[基本作圖題 1.4]中的 X₁X₂ 乃是過 $\ell$ 上 M 點的垂線。

(4)

試証明在[基本作圖題 1.5]中的 PP' 乃是垂直于 $\ell$ 的直線。

(5)

設直線 $\ell$ 和圓 Γ 僅交于一點 P，試証 $\overline{OP}\perp\ell$ 。

(6)

過圓 Γ 上一點 P 作其切線 $\ell$ 。

(7)

設四邊形 $\square ABCD$ 的兩對對邊各別等長，試証：

(i): 其對角線互相平分；
(ii): 其兩對對角各別相等。

(8)

設四邊形 $\square ABCD$ 的兩對角線互相平分，試証：

(i): 其兩對對邊各別等長；
(ii): 其兩對對角各別相等。

(9)

設 $\bigtriangleup ABC$ 的 $\angle C$ 分角線等分對邊 $\overline{AB}$ ，試証 $\overline{AC}=\overline{BC}$ 。 [延長 $\overline{CM}$ 到 $\overline{CD}=2\overline{CM}$ （如 [圖1-28] 所示），則可運用習題 (8) 之結果。]

$\begin{displaymath} \xy \xyimport(5,5){\epsfxsize=3.5cm \epsfbox{fig0128.eps}}*\... ...*+{B} ,(2.5,5.2)*+{C} ,(2.5,-0.2)*+{D} ,(2.85,2.75)*+{M} \endxy\end{displaymath}$

[ 圖1-28 ]

(10)

給定 $\bigtriangleup ABC$ ，如[圖1-29]所示令 $\ell'$ 為 $\angle C$ 的分角線，P' 是 $\ell'$ 上一點， $P'\neq C$ ，試証明 $\overline{AP'}-\overline{P'B} < \overline{AC}-\overline{CB}$ 。

$\begin{displaymath} \xy \xyimport(5,5){\epsfxsize=5cm \epsfbox{fig0129.eps}}*\fr... ...)*+{P'} ,(4,-0.2)*+{B} ,(3.4,4)*+{C} ,(3.9,5.3)*+{\ell'} \endxy\end{displaymath}$

[ 圖1-29 ]

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最後修改日期：6/19/2004