在討論「商高曰數之法出於圓方」章時，應該先瞭解「方」與「矩」間的關係。特別是該章有「兩矩共長二十有五，是謂積矩」的斷言，「矩」可以不可以是「方」，便成為要緊的問題。

矩原來是畫方形的工具，《墨子•法儀》說：「百工為方以矩，為圓以規。」《孟子•離婁》也有「不以規矩，不能成方員」之說。根據漢武梁祠石室造像拓片看來 ^註6 ，矩是像圖一的工具。從拓片圖上可以度量出兩夾邊幾乎是等長的。《墨子•經上》說：「方，柱隅四讙也。」而〈經說上〉解釋為：「方，矩見交也。」在〈天志〉中有所謂：「匠人亦操其矩，將以量度天下之方與不方也。曰中吾矩者謂之方，不中吾矩者謂之不方。」其他如《周禮•冬官輿人》，《荀子•賦篇》，《莊子•徐無鬼》均有「方者中矩」之謂，都強烈暗示矩的兩邊等長。

圖一

在商高解釋數之法出於圓方後，周公就請問用矩之道，而商高曰：「平矩以正繩，偃矩以望高，覆矩以測深，臥矩以知遠，環矩以為圓，合矩以為方。」就是說明了曲尺形的矩的應用範圍。但是既然合矩便成為方，矩尺的兩邊怎麼會是長短不一呢？這也加強了前面商高所謂「方出於矩」的意思。

矩既然可以生出方，自然會造成兩個向面的衍生意義。一個向面正如趙爽注文中所說：「方正之物，出之以矩。矩，廣長也。」任何具有廣與長兩個度量的形都可叫做矩。因此矩的面積，也就是矩的度量須用乘法來計算，便有「矩出於九九八十一」的說法。從另一個向面看來，矩既然生方，矩這個概念的類包含了方這個概念的類，因此可以把方也叫做矩。「兩矩共長二十有五是謂積矩」中的矩應作如是解。一定要把矩形限定為兩鄰邊不等，而方形是兩鄰邊相等的四直角形，似乎不是最自然的定義法。現代數學中一般也是把具有四個直角的四邊形叫作矩形，而其中四邊又相等的特別叫作方形。《莊子•天下篇》辯者所謂：「矩不方，規不可以為圓。」其實也可以理解為「矩」與「方」這兩個類不能全等起來，這種理解法並沒有排斥掉把方叫作矩的可能性。另外在《呂氏春秋•序意》中也可找到把方稱為矩的說法：「有大圜在上，大矩在下，汝能法之為民父母。」高注：「矩，方也，地也。」是把「天圓地方」的方叫作矩。

把矩理解為具有廣與長的形狀，則一矩可等分為兩個直角三角形。「故折矩」的折字，《說文解字》釋為斷，因此便有圖二所示的狀況。「以為勾廣三，股脩四，徑隅五。」就是說圖二中若 AB 長為三，BC 長為四，則 AC 長為五。為什麼把矩的廣長選為三與四呢？這是有道理的。因為古人認為直徑為一的圓，周長為三。而邊長為一的方，周長確實為四。所以三與四是從單位長導出有關圓與方的兩個基本量，這就扣住了「數出於圓方」的說法。也因此之故，便不難瞭解趙爽的「勾股圓方圖」論說中並未討論圓的性質，但題目中出現了圓字。如果三與四有合理的來源，那麼「徑隅五」便不能隨意挑選的量，接下去最重要的幾句話就是要說明為什麼會如此。

圖二

「既方之外，半其一矩」，錢寶琮校點《算經十書》中，改為「既方其外，半之一矩」 ^註7 ，據他說明是根據武英殿聚珍版本所改，而這個版本原來又是以戴震的校本為底。這種更改似乎沒有多大必要，宋嘉定本在這句話後，趙爽的注文中提到「故曰既方其外」以及「故曰半其一矩」的「其」字前後吻合，大可不必更改。而「既方之外」也好，「既方其外」也好，重點在把方畫到什麼的外面。我們認為方是畫在矩的外面，也就是有圖三所示的狀況。

圖三

「半其一矩，環而共盤」在語氣上應該是連起來的「半其一矩」的矩是那個矩呢？應該是折矩的那個矩，也就是圖中的 ABCD，它的一半就是直角三角形 ABC，或者直角三角形 ACD。把它環繞一個中心旋轉起來。因為現在圖形的相對位置是對稱的，所以我們可以盤 ABC，也可以盤 ACD。假如盤 ABC，便有圖四的情況發生。

圖四

現在請注意方形 FBKN 的面積可以有兩種計算方法。首先它是兩個方形與兩個矩的和，

由上面的證法「得成三四五」之後，「兩矩共長二十有五」的矩就是指方形 CHBA 與 BIJC 。長字基本上是指長度，但如《禮記•王制》所謂：「四海之內，斷長補短，方三千里。」也可指面積，就是用長字泛指空間的度量單位。「是謂積矩」的「積」本義為「聚」，作累積解，不作乘積解。總而言之，勾上的方形與股上的方形，面積和為二十五。