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.原載於科學月刊第二十九卷第十一期
.作者當時任教於台灣大學數學系
 

轎車與山羊

蔡聰明

 
 

機率論就是要對機運(chance)作數理研究的一門數學。在數學中,機率是一個較難掌握的概念,因為機運本是虛虛玄玄的。本文我們舉「轎車與山羊」的猜獎遊戲,來一窺機率式的思考與解題方法。

在電視裡,我們可以看到如下的「轎車與山羊」(the car and the goats) 之猜獎節目:有一部轎車與二隻山羊,分別關在三個房間內.由參賽者任選一個門。打開來如果是轎車,就獲得轎車的大獎;如果是山羊,就獲得小獎,牽回家牧養,當然,每個參賽者都想要得到大獎。

猜獎的程序一共有四個步驟,合成一個隨機實驗 (random experiment):

  1. 首先由參賽者任何選定一個門,暫時先不要打開。

  2. 剩下兩個門由主持人打開其中一個,發現裡面是一隻山羊。

  3. 主持人對參賽者說:現在你有一次機會,可以「更換或不更換」剛才的選擇。

  4. 參賽者經過重新選擇之後,打開門來,謎底揭曉。

問題:在步驟(3)中,參賽者到底是更換或不更換較有利?何者獲大獎的機率較大?機率各是多少?


兩種論證 ,兩種答案

對於這個問題.基本上有兩種答案:

 
對外搜尋關鍵字:
拉普拉斯
坡里雅
大數法則
三門問題
 
更換或不更換並沒有差別

理由是,在決定要不要更換選擇時,面對的是一車一羊的兩個門,兩者機會均等,任選其一,得到大獎的機率為 $\frac{1}{2}$,得到山羊的機率也是 $\frac{1}{2}$,所以更換與否並沒有差別。

請讀者自己判斷,這個論證有道理嗎?更進一步,這個論證對嗎?

   
 
更換選擇較有利

首先,我們採取直觀的論證。我初選得到轎車的機率為 $\frac{1}{3}$,得到山羊的機率為 $\frac{2}{3}$,所以初選我有較大的可能沒有得到轎車。因此,在獲知主持人揭露了一個山羊房間時,大大降低不利的因素.我應該更換房間,這樣比較有利於獲得大獎。

進一步,我們更明確地論證:只有更換與不更換兩種窮盡的情況,其機率和為1,如果不更換的話,得到大獎的機率就是保持原先初選時的 $\frac{1}{3}$。從而,更換選擇得到大獎的機率為 $1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$,這是不更換的兩倍,當然是更換好!

順便我們也可以知道,上述第一段的論證是錯的,因為它「斷章取義」。只考慮第三步驟,而沒有考慮整個猜獎的過程。

   

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編輯:鄧惠文 最後修改日期:5/31/2002