| |
上面的討論已經成功地把政府決策的變動所發生的不連續現象，放入一個尖點劇變的模型裏。現在來介紹第三種也是很簡單的基本劇變模型，稱為燕尾點劇變(swallow-tail catastrophe)。令
 ，則
V'(x)=x4+ux2+vx+w，
V''(x)=4x3+2ux+v，還有
V'''(x)=12x2+2u。仍先考慮
V'(x)=x4+ux2+vx+w=0，控制點(u,v,w)可分成: 1.在最好的情形V'(x)=0具有四個實根，因此由大到小分別為極小、極大、極小及極大。2.四根中只有兩個實根(其中一個極大一個極小)，另兩根是共軛複數。3.所有四根皆為複數，沒有實根因此沒有極大極小。因此(u,v,w)這三維的控制空間中存在一個曲面K，把整個控制空間分隔成上面三種不同類的部分。這個曲面K其實就是四次方程式V'(x)=0之判別式曲面，換言之是所有使得V'(x)=0具有重根，即同時滿足
V'(x)=V''(x)=0之控制點(u,v,w)所構成之曲面，如圖十六所示。由於V'(x)=0之根x若還滿足V''(x)=0，則為二重根;若更滿足V'''(x)=0則為三重根。因此我們不妨先來考慮聯立方程式:
以便得出K中所有能使得V'(x)=0具有三重根之點。其解為u=-6x2，v=8x3，w=-3x4。這條曲線分成B1、B2兩支，交會於O點，只存在於u及w值皆為負之時，而且關於(u,w)坐標面為對稱。在B1及B2之每點V'(x)=0皆有三重根。
圖十六
|
現在來考慮曲面K跟一個平行於(v,w)這坐標面(即u為某固定常數)之平面的交線。例如取平面u=a2時，交線方程式為:
x4+a2x2+vx+w=0及
4x3+2a2x+v=0，故為:
v=-(4x3+2a2x)，w=3x4+a2x2。其圖形都畫在圖十六及圖十七的最右邊記為u=a2之處。若考慮u=0這平面時，則交線方程式變為:v=-4x3，w=3x4，其形狀也都畫在圖十六及十七的中央。至於平面u=-a2時之交線方程式為:
v=-(4x3-2a2x)，w=3x4-a2x2，這是個呈燕尾形的曲線，由(v,w)=(0,0)點出發一直到遇見三重根線B1，B2時才折回，形成一條具有兩個尖點的曲線。
![]()
圖十七
|
曲面K把控制空間劃分為三部分，只要在每部分裏隨便挑出一點試驗一下就知道:在燕尾內部 1 的點能使 V'(x)=0 具有四個相異實根。如果 V(x) 被當做位函數的話，這時的兩個極小就分別代表兩種穩定的物理狀態，因此在燕尾內部這兩種物理狀態彼此相競爭。但是在燕尾之外，兩翅之下記為2的部分卻只有兩個實根，因此只有一個極小所代表的穩定物理狀態。至於兩翅之上記為3的部分根本就沒有實根，也就不具有任何穩定的物理狀態了。
由於我們無法畫出展布於整個控制空間上代表 V'(x)=0 之實根的三維曲體 M 我們只能在 (u,v,w,x) 這四維空間中取 u=-a2 這種垂直於 (u,v,w) 座標空間之三維空間跟這曲體 M 之相交取面，仍以 M 記之。這是個展布在 (v,w) 平面上的曲面。圖十八所畫的是圖十七中的最左圖。我們在這 (v,w) 平面上考慮七條平行於 w 軸的直線，分別以號碼1到7表示。展布於圖十八上方的曲面 M，如果從前面上方看下去，其形狀大約就像圖十九中所畫的。從最上面的一層 M1 沿著位於 AB1 之上的 A'B'1 線往下摺疊成 M2，然後沿著位於 B1B2 之上的 B'1B'2 線往上摺疊成 M3，再沿著位於 B2D 之上的 B'2D' 線向下摺疊成 M4。通過 (v,w) 平面 1 至 7 號直線而垂直於 (v,w) 面之七個平面分別交曲面 M 於七條圖十九中所畫出的曲線。只有 1 及 7 號這兩曲線單單打一個摺，另外 2 至 6 號曲線接打三次摺。在燕尾的內部之上方，M 有第四層，最上層 M1 代表極小，第二層 M2 是極大，第三層 M3 代表極小，第四層 M4 又為極大。如果 V(x) 為位函數而只有極小具有物理意義，則尖點B1上方的B'1是由兩個極小夾極大（即 M1, M2, M3）所構成，因此有兩個極小，即兩種穩定的物理狀態相互競爭。但是尖點B2上方的 B'2 卻是由兩個極大夾極小（M2, M3, M4）所構成，因此只有一個極小，不會發生競爭。因此只有從尖點 B1 會引出一條衝突線（line of conflict），如圖十八點線所示。
圖十八
|
圖十九
|
現在讓 -a2 在所有負實數中連續變動，則圖十六中位於曲線 B1 上的所有尖點都有一條衝突線引出，
因此全體合成一個衝突面，這就是燕尾內側所存在的兩種穩定物理狀態的交界面，通常稱為激震波 (shock wave)。至於位於 B2 線上之尖點，只是形式上存在，跟激震波之生成無關。
重新比較圖二、圖六、圖十六及十九，我們發覺摺點劇變最為簡單。而圖六中 B1 及 B2 上所有之點局部上皆為摺點劇變，因此兩族摺點劇變B1與B2相交於 0，使得 0 點構成一個尖點劇變。現在看圖十六，兩條三重根線 B1 及 B2 中之每一點皆為一個尖點劇變，因此兩族尖點劇變 B1 與 B2 相交於 0，使得 0 點構成一個燕尾點劇變。但是注意這時兩族尖點劇變中只有一族 B1 具有衝突線，特別叫做黎曼－舒果劇變 (Riemann-Hugoniot Catastrophe)，另外一族尖點劇變 B2 只是形式上存在。下一期中我們要介紹一種由兩族燕尾點劇變所結合而成的更高一級的基本劇變，名叫蝴蝶點劇變 (Butterfly Catastrophe)，需要四個控制因子的。兩族蝴蝶點劇變可以結合而變成需要五個控制因子的印第安帳幕點劇變 (Wigwam Catastrophe)。兩族印第安帳幕點劇變可以構成需要六個控制因子的星點劇變 (Star Catastrophe) 等等。已經有人使用計算機把這些基本劇變的截面圖形畫出來了，可以用立體鏡去看，十分有趣。
|
|
|
