如果把V(x)想成為一個位函數，而單只極小具有物理意義，則可以把不具物理意義的中層（極大）削去，而只剩下圖九中的M。因此在A的部分之上方M只有上、下兩層。取兩條平行又十分靠近a軸的直線E1:
 ，E2:
 。現在讓a值從正變到負，而考慮M上位於E1，E2之上的連續曲線。當a值為正時，E1及E2線上具有相同a坐標的兩點相距只有ε，由於這時M只為單層，因此在這兩點上方的x的值（即M上之對應點）十分接近。但是當a為負時，情況就發生很大的變化，這時同a值的兩點在控制平面上依然只相距ε，但是他們在M上的對應點卻距離得十分遙遠。在圖九中以E'1表示的就是M中位於E1上的連續曲線，由於是在P點的右側，這曲線必須往下層走，但是在E2上方的曲線E'2，卻由於位居P點左側的緣故，必須往上層走。這使得兩條曲線由原先彼此很靠近而演變到愈分愈遠。因此P點是一個關鍵的所在，在P點附近起始情況(a,b)值為小的變化對於後來產生十分分歧的結果，這就是所謂發散（divergence）的現象。
圖九
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對於這類發散現象，向來大家都認為無法以數學工具來加以處理，因為這種現象缺乏一個被公認的基本先決條件：「始值條件（自變數）的微小差異只能對後來的演變（因變數）引起微量的變化」。因此習慣上，如果一門科學特別像社會科學或人文科學，其中常需面對具有發散現象的問題，大家總喜歡稱之為「不精確」科學，以便和能用數學工具來計算並預測的「精確」科學區別。如同我們在第一篇中已經詳細說明了的，這種以能否有效運用數學的計量工具來處理問題作為科學分類的想法，現在就要被打破了。因為我們在上面所考慮的簡單的數學模型，已經能夠用來定性地處理發散的現象，不僅如此，我們這個尖點劇變模型還能夠用來處理一個更驚人的現象，在控制平面上考慮一條平行於b軸，而a值為負常數的直線，讓b值從負變到正（E3），或者b值從正變到負（E4）。這時M中位於E3上的曲線E'3先在上層一直延伸到G1點（參考圖八），這正是E3與B1交點的上方，已經來到了上層的邊緣，所以E'3只好從上層跳到下層。反過來考慮E4上方的曲線E'4，它起初是在下層而一直延伸到G2點，這兒是E4與B2交點的上方，已經來到了下層的邊緣，所以E'4只好從下層跳躍到上層。如果上層代表氣態，下層表示液態，我們就得到從一種狀態跳到另一種狀態的不連續性的劇變（catastrophic jump）。這種不連續現象，是自由變數a,b微小的變化引起因變數x巨輻變化所產生的，這也是以前始終無法藉數學工具來加以處理的問題，但是在上面介紹的簡單數學模型裏，我們卻能夠定性地對這現象加以描述。
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