現在我們要給出一個例子，說明如何把這個簡單的尖點劇變模型靈活地運用。首先讓我們考慮公眾輿論的變化如何對一個民主政府所採行的政策發生影響：此處舉例考慮的僅是當政府面對一場戰爭時將採取的行動。至於其他種種場合上的討論，大抵也都可以用類似的手法加以處理，因此不需再加贅述。
令正x軸代表各種可能的對策，愈大的x值代表愈激烈的軍事行動，x值很大時表示戰爭，但是愈小的x值代表愈微弱的軍事行動，當x值最小時代表撤軍或甚至投降，如圖十所示。令正P軸表示某種政策受支持的程度，P值愈大所得支持也愈多。在某一時刻政府可以作一次民意調查，看看對於每一種政策x有多少人支持，然後再把這些民意調查資料按照各階層人士對政府影響力之大小給予加權修正，然後再加以正則化（normalize），這樣就得出一條代表輿論或民意的或然率分佈曲線P(x)，簡稱民意曲線。
圖十
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政府採行政策的基本原則是謀取極大多數人民的支持。而在圖十的情形P(x)只有一個極大x1，因此顯然政府必定選擇x1做為政策。在我們的尺標中x1代表激烈的軍事行動，因此當政府採行這種激烈的軍事行動為其政策時，儘管不能得到全體人民一致的支持，但是已經得到極大多數人的支持，因為x1是P(x)的一個極大，且是唯一的極大。
上例應用在其他各種類似的場合時，P可以具有各種不同的意義。例如在經濟學中可令P代表利潤（或費用），這時決策者必定尋求利潤之極大（或費用之極小）。又如在心理學中，可令P代表焦慮的程度，因此個人必定尋求能使焦慮極小化之行為。而在社會學中，可令P代表一個群體中內不知摩擦與緊張程度，因此必須尋求這種摩擦與緊張之極小。在物理學中可令P代表某系統之位能，則此位能函數之極小正代表此系統所尋求的一個穩定的平衡。
回到原來的例子。隨著時間的不同，輿論可能漸漸演變而分裂為兩派，如圖十一所示。這時P(x)同時有兩個極大，x2及x3。大多數人傾向於採取更強烈的軍事行動x2，但也有令一派人興起，他們主張和平或撤軍，即x3。於是民意顯著地分裂成為主戰派及主和派，就是通常所稱的鷹派與鴿派。如果政府原先的政策是x1，為了繼續得到極大多數人的支持，政策必須往右移動，即採用更強烈的極大x2為政策，因為如果從x1往左移則P(x)會減少。像這樣，如果民意曲線連續地由圖十變動到圖十一，則政策將隨之連續地由x1變到x2。
圖十一
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現在假設民意曲線由圖十一繼續連續地變化到圖十二，這時鴿派已佔上風，支持鷹派的人反而變的比支持鴿派的人還來的少；但仍然繼續支持鷹派的人可能變的更加鷹派，因此這時極大x4位於x2的右方。這時原來採行政策x2的政府面臨了一個難題：1.把政策從x2突然跳躍到遠在左邊的鴿派主流意見x5，以便取得真正較多數人的支持。2.更加強化政策，由x2連續變化到x4，以繼續取得鷹派局部極大的支持。圖十二中另外有一個極小x6這種政策顯然是政府最極力想避免的，因為它必定引起鷹派、鴿派人士群起而攻。換言之，只有曲線的極大才對政府決策具有意義，極小全然沒有意義。政府只能在兩個極大之間選擇其一。但是在其他的場合，如果P所代表的是花費、焦慮、內部摩擦與緊張、系統之位能等等，則曲線P之極小才對政策之採行者具有意義，因此他們在各個極小之中選擇其一。
圖十二
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為了解決上述決策上必需在兩個極大（或者兩個極小）之間挑選其一的難題，通常有兩種法則可以遵循。
- 馬氏法則（Maxwell's Rule），改變政策到一個可以得到最大多數支持的地方，因此必須從 x2 跳到 x5。
- 拖延法則（Delay Rule），順著局部能增加支持的方向改變政策。
圖十二中x軸上方的幾個箭頭
指明使用拖延法則時，在各個位置的政策必須變動的方向。在每點箭頭必定指向涵蓋這點的局部極大，因此任何點x總是一直按箭頭所示方向一直變換到一個極大，才達到穩定而停止變動。圖十二中x6這一點是個極小，在這點箭頭不曉得往那方向指。但是P(x)是一直在變動的，只要x6不再是極小，那麼它立即可以按著增值的方向移動。拖延法則所求的是變到局部的極大，因此在圖十二中是由x2變到x4，但是馬氏法則所求的卻是變到全x軸上的具最大值的極大。必須特別指明的是政府的政策隨時都因參考民意曲線之變動而修訂，一點也沒有拖延不修訂的意思。所謂拖延法則中的「拖延」，乃是另有所指，我們在下面將有更清楚的討論。
如果採用馬氏法則，當P(x)變化到鴿派之極大值大於鷹派之極大值時，政策立即由鷹派跳到鴿派而發生劇變現象。如果採用拖延法則，在圖十二中x2必須繼續朝x4變動，因為x4在局部上是涵蓋x2的極大。而這時較大多數人所代表的鴿派意見就被政府「拖延」或忽視了。因此現在的問題是想從這兩種法則中選出一種來，以適合政府決策的實際情況。在下列五項情況下，我們認為政府的決策以選用拖延法則較為適宜。
- 情報缺乏。儘管民意曲線圖形畫出來指向鴿派之人已佔多數，但是由於常有許多不表明意見的「沉默的大眾」，故通常 P(x) 並不見得是絕對的精確。所以可能政府不能確定是否鴿派已佔多數，或者兩派仍處於勢均力敵的狀況。另方面，對於一個跟原來政策x2距離很遠的鴿派，新的極大 x5 可能在實際上比較難確定其實際位置，反倒是與x2相距很近的鷹派的新極大很容易確定。因此要立即改成以一個情況未明的x5做新政策未免過份冒險，不如繼續逗留在一個鄰近的極大來得安全踏實。另外純就x尺標選用之方法而言，當我們收縮 x 尺標大值的部份而又拉長 x 小值的部份，結果會相應地把鴿派的極大值拉低，而把鷹派的極大值推高。因此極大值本身的大小是要受x尺標制定之方法所影響，因此並不具有絕對性的意義。
- 直覺。一條民意曲線之獲得是相當費時的。但是一個政治家憑他的經驗與直覺，常能輕易判斷局部上政策該往那方向變動才能得到更多的支持。因此當一個決策者因情況急迫而必須立即做出決定時，常須憑其直覺以定取捨。所以有時拖延法則比較能適合這種特殊情況。
- 社會壓力。政府政策的巨大改變可能使執政者覺得有傷顏面。縱使撇開決策者個人的顏面不談，由於政府長期採用鷹派政策，已經與鴿派人士鬧僵了，甚至已有仇恨存在於彼此之間。這時決策者可能考慮到要是他立即改採鴿派的政策 x5，可能由於結怨已深仍難取得鴿派人士之諒解與支持，因此他比較傾向於考慮那些看法與原來政策相近之人的意見，試著在這局部的一群人中取得極大的支持，這種傾向正是拖延法則的最佳寫照。
- 惰性（inertia）。要把原行的政策逆轉為相對立的政策很可能需要花費極多的時間、金錢、勞力來進行說服並溝通意見以及重新分配資源的工作。因此必須已經看得極為分明，真正確定非變不可之後再變換政策才是明智之舉。事實上輿論常是變動的，尤其當有相當多數的人沒表示他們的意見之時，常常發生今天鴿派佔上風，但隔沒多久鷹派轉又佔上風，如同翹翹板一樣，兩個極大彼此升降競爭。政府不可能笨到把政策隨著改過來又換過去，這是要鬧笑話的。
- 以往的經驗。馬氏法則完全不顧及以往的經驗，只要有更高的極大值，便立即採行。但是拖延法則卻特別重視最近的政策或行為對未來政策之密切關係。
由於上述五項原因，關於政府決策這件事，我們就假定選用拖延法則。至於馬氏法則也有它特別適用的場合，像物理現象中液態氣態間之變化的情形，以馬氏法則最為適用，又切合實驗結果。
既然已假定採用拖延法則，因此回頭再看圖十二，這時政策應由 x2 漸漸連續變到x4。我們為了方便起見把圖十到圖十二的三條民意曲線畫在一起，如圖十三中的1,2,3三條。另外假設民意曲線繼續連續地
改變，在時間t1,t2及t3時分別為三條記有個別時間的曲線。這時政策的變化應由x4連續變到t1曲線的局部極大x7。P(x)在t2時十分特別，代表鷹派極大的x7跟代表極小的x8一起重疊於x10，因此政策演變從一個不穩定點x10。當時間稍大於t2，這種不穩定情況消失了，單單只剩下獨一的鴿派極大，因此政策從x10一下子跳到x11，這就是所謂劇變現象（catastrophic jump）。到t3時再連續由x11變動到新的極大x12。因此在我們的分析裏，劇變現象被一直拖延到由於鷹派的局部極大完全消失，而迫使政策不得不做出不連續的跳躍時才發生，這正是何以我們稱所選用的法則為拖延法則的原因。
在圖十三中畫出民意曲線一連串的變動引致劇變現象的發生。現在我們進一步來分析到底是那些主要的因素在影響輿論而造成民意曲線的變動。大抵說來，影嚮輿論的兩大因素是費用(cost)與危機性(threat)。令a表示費用，泛指生命、金錢、時間、力量以及所有因備戰或戰爭所造成的費用或代價。當a愈大時，愈易使更多的人重新衡量到底參與這戰爭值不值得，也因此愈易造成民意的分裂，而成鷹派與鴿派兩個主要相對立場。故我們稱這種因子為分裂因子(splitting factor)。令b表示一個國家所受威脅的程度，或稱為危機性。一國人民感受到愈大的危機性，則愈容易團結一起共禦外侮。換言之，b是一個團結統一民意的因子，稱之為正則因子(normal factor)。
a,b可視為兩條數軸，因此可以展成一個坐標平面，以(a,b)面或控制平面C表示之。因此C中任意點c具有兩個坐標c=(a,b)。第一坐標表示某一費用，第二坐標表示某種程度的危機性，我們稱點c為控制點。對於任何C中之點c我們就有一條相應的民意曲線Pc(x)。這條曲線可以簡單地被看成是一個 C x X上的函數P(c,x)=Pc(x)。令Gc表示曲線Pc(x)的極大，則因c點在C中位置的不同會造成Gc情況巨大的差異。例如當Pc形狀如圖十時只有一個極大，故Gc只為單值x1，此時民意是統一的。但若Pc形狀如圖十一時就有兩個極大，故Gc為雙值x2及x3，這時民意是分裂的。這時可把全部的Gc簡寫為
 ，對任意控制點c，取G(c)=Gc。我們現在想畫出G的圖形，由於C是平面，而X為數軸，故G的圖形應為三維空間中的一個曲面。我們希望這曲面畫出來之後形狀就像前面圖九之曲面M的樣子，為達到這目的，我們只需做出下列三項假設就可。
(1)假設P(c,x)是平滑函數;這意思是說P(c,x)對於a,b,x的各次偏導數皆存在。例如若取
 ，則這函數對a,b或x的各次偏導數皆存在。另外我們又假設P(c,x)為一般性的(generic)函數，這是一個技術性的數學條件，為了方便以後的討論而採用的，現在先不管其意義。
(2)假設戰爭費用很低時(a值很小)，民意是統一的。而且這時(a是小值常數)b值愈大，則所採用的政策(即G之值)也愈為激烈，如圖十四所示。為了要配合前面的圖六到圖九，我們在這兒故意把b軸畫成朝左邊的方向，因此只需移動原點到b的某個適當正值，而且取-b軸為圖六及圖七之b軸，則圖十四完全等於圖七。
圖十四
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(3)假設戰爭費用很大(故a值很大)，但是b值不怎麼大(故危機牲只為中等程度)，則民意分裂成鴿派及鷹派。假設a,b值同時都很大，則民意統一，贊成強硬軍事行動。假設a值很大但b值很小之時，民意也趨於統一，而贊成撤軍。這一大堆假設以圖形表示時可以畫成圖十五，其中G分為兩支。這時a是固定大值常數，G的下支代表鴿派的主流意見，同b軸右方(即b小於bA)延伸。G的上支代表鷹派的主流意見，向b軸左方(即b大於bB)延伸。當b值介於bA,bB時，G同時有兩值。但b大於bB時對應的G只有一個大值;b值小於bA時，G也只有一個小值。我們同樣把b軸朝左方指，因此只需移動坐標原點到b的某個適當正值，而且取-b軸為圖六及圖八的b軸，則圖十五完全等於以前的圖八。
圖十五
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上面(1)到(3)的假設使我們得到圖六(精確點說應是圖九)，而且上下兩層需視為極大。可見現在有關政府政策的Gc圖形可以藉著考慮
 得到。
我們重新看圖十五，這個圖形其實已能反映圖十三中所考慮的民意曲線之變化。當a為固定大值常數時，考慮b值從大變到小。圖十的x1是b值很大時唯一的一個代表鷹派主流的極大。但是在圖十一、圖十二時，b值中等，這時民意分裂而分別有鷹派的極大x2(或x4)以及鴿派的極大x3(或x5)。因此在圖十及圖十一之間必定有某個bB值是民意曲線由統一開始演變為分裂，也就是下支鴿派曲線的起點B開始出現的時候。圖十三中的t3民意曲線已由分裂重歸統一，也就是上支鷹派曲線的終點A之所在。
圖十五中連結A、B兩點之點線，實際代表民意曲線之極小，只存在於[bA,bB]這線段之上，像x6、x8等皆是。這條代表極小的曲線儘管在我們現在的例子中沒有意義，但在數學上它卻很有用處。能夠把鴿派的下支跟鷹派的上支連結起來而使Gc變成一條很好的平滑曲線，其方程式為
 。這時A、B兩點就是這曲線打摺的地方，也就是說是
這曲線再對x微分而其斜率
 之點(因為切線平行於x軸)。故A、B兩點同時滿足
以及
 。
藉著圖十五我們能夠把以前討論的拖延法則之下政府政策的變化講得很清楚。如果政府是先處於戰爭的政策，因此位於鷹派上支。這時若b值漸減，則政策沿著上支一直連續變化到A點的xA。若b再繼續下降，則政策突然由xA跳躍到在A'點的政策xA'，這相應於一般所謂的停火或投降。反之，若原來政策是在鴿派的下支，當b值漸增時，政策仍一直留在下支而連續演變到B點的xB，才一下子跳躍到b'點的xB'而發生劇變現象，這現象相應於通常所謂的宣戰。
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