再談費氏數列 (第 5 頁)

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再談費氏數列（第 5 頁）

賴東昇

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．原載於科學月刊第六卷第十期
．作者當時任教於台大數學系
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五、費氏數列的一般項

有了兩種不同的等比費氏數列(8)及(9)後，我們可以將它們線性疊合起來，而得到更一般的費氏數列 (a_n)：

$\begin{displaymath}a_n=p(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n-1}+q(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n-1}\eqno{(10)}\end{displaymath}$

（請注意：第 n 項的乘冪是 n-1，因為等比數列 a,ar,ar²,…,arⁿ,… 的第 n 項是 ar^n-1）。(10)式中的 p 與 q 是待定係數。由於費氏數列的構造法，只要首兩項給定之後，整個費氏數列也就跟著確定了。這個首兩項的數據，通常就被稱為初期條件。因此指定費氏數列的初期條件後，待定係數 p 與 q 便自然而然的確定了。

例如回頭看看原來的（狹義）費氏數列。它的首兩項是

$\begin{displaymath}a_1=1\quad,\quad a_2=1\end{displaymath}$

利用這個條件，(10)式可化為

$\begin{displaymath}1=p(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^0+q(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^0=p+q\eqno{(11)}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}1=p(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^1+q(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^1=\frac{p+q}{2}+\frac{p-q}{2}\sqrt{5}\eqno{(12)}\end{displaymath}$

把(11)式代入(12)式後得

$\begin{displaymath}1=\frac{1}{2}+\frac{p-q}{2}\sqrt{5}\end{displaymath}$

整理後化成

$\begin{displaymath}p-q=\frac{1}{\sqrt{5}}\eqno{(13)}\end{displaymath}$

現在，由(11),(13)二式聯立解 p,q 得

$\begin{eqnarray*} p=\frac{1}{2}(1+\frac{1}{\sqrt{5}})=\frac{1+\sqrt{5}}{2\sqrt{5... ...q=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{\sqrt{5}})=\frac{1-\sqrt{5}}{2\sqrt{5}} \end{eqnarray*}$

最後把這個 p,q 之值代入(10)式，則得

$\begin{eqnarray*} a_n&=&\frac{1+\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n-1}... ...{1+\sqrt{5}}{2})^n-\frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n\\ \end{eqnarray*}$

所以

$\begin{displaymath} a_n &=& \frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n] \end{displaymath}$

這樣我們就求出了原來的狹義費氏數列的一般項 a_n。

再舉一個例子來給大家看看。前面提到的另一個費氏數列是

$\begin{displaymath}2,7,9,16,25,\cdots\eqno{(14)}\end{displaymath}$

顯然的初期條件是

$\begin{displaymath}a_1=2\quad,\quad a_2=7\end{displaymath}$

把這個條件代入(10)式得

$\begin{displaymath}2=p(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^0+q(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^0=p+q\eqno{(15)}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}7=p(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^1+q(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^1=\frac{p+q}{2}+\frac{p-q}{2}\sqrt{5}\eqno{(16)}\end{displaymath}$

將(15)式代入(16)式後，再化簡得

$\begin{displaymath}p-q=\frac{12}{\sqrt{5}}\end{displaymath}$

解聯立方程式(15), (17)，可得

$\begin{eqnarray*} p&=&\frac{6+\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\\ q&=&-\frac{6-\sqrt{5}}{\sqrt{5}} \end{eqnarray*}$

將此 p 與 q 之值代回(10)式後，便可得費氏數列(14)的一般項為

$\begin{displaymath}a_n=\frac{6+\sqrt{5}}{\sqrt{5}}(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n-1}-\frac{6-\sqrt{5}}{\sqrt{5}}(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n-1}\end{displaymath}$

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編輯：李渭天

最後修改日期：5/31/2002