上頁 123456 次頁

再談費氏數列 (第 2 頁)

賴東昇

 


首頁 | 搜尋

.原載於科學月刊第六卷第十期
.作者當時任教於台大數學系
對外搜尋關鍵字
 
二、費氏數列空間

所謂費氏數列就是

\begin{displaymath}1,1,2,3,5,\cdots,f_n,\cdots\eqno{(1)}\end{displaymath}

它的特徵性質是前兩項的和恆等於第三項,即

\begin{displaymath}f_{n-2}+f_{n-1}=f_n\quad\forall n\geq3\eqno{(2)}\end{displaymath}

但是符合條件(2)的數列,一般來講,還有不少。例如將數列(1)的各項 2 倍後新得的數列

\begin{displaymath}2,2,4,6,10,\cdots\end{displaymath}

也有前兩項的和等於第三項的性質。又如先給出首兩項 2 與 7,然後依次相加(2+7=9,此為第三項,再把第二項第三項相加 7+9=16,此為第四項, 接著 9+16=25 為第五項,下面依次類推)後所得的數列

\begin{displaymath}2,7,9,16,25,\cdots\end{displaymath}

也有這個性質。因此我們注意到了一件事實,即具有「前兩項的和恆等於第三項」這個性質的數列,除了費氏數列(1)以外,還有很多。下面為了述說方便起見,我們把這些數列統統叫做費氏數列,而把原來的費氏數列(1)叫做狹義的費氏數列

換句話說,一個數列

\begin{displaymath}a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n,\cdots\end{displaymath}

如果滿足條件:

\begin{displaymath}a_{n-2}+a_{n-1}=a_n\quad\forall n\geq3\end{displaymath}

就叫做費氏數列。這麼一來,狹義的費氏數列就是滿足「初期條件」

a1=1,a2=1

的費氏數列。現在把這些費氏數列全部集齊在一起,當做一個集合 F 看待,即

F={(an)|an-2+an-1=an}

那麼,我們將發現集合 F 其有下面的性質:

(i) 費氏數列的倍數仍然是費氏數列。若以符號表示,則

\begin{displaymath}(a_n)\in F\Rightarrow p(a_n)\in F\end{displaymath}

這裡所謂「數列的倍數」的意思是:數列

\begin{displaymath}a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n,\cdots\end{displaymath}

p 倍就是指另一數列

\begin{displaymath}pa_1,pa_2,pa_3,\cdots,pa_n,\cdots\end{displaymath}

習慣上,將此數列記為 p(an)。所以 p(an)=(pan)

[驗證] 如令 bn=pan,則

bn-2+bn-1=pan-2+pan-1=p(an-2+pn-1)=pan=bn

所以 $(b_n)\in F$

(ii) 費氏數列的和仍然是費氏數列。若以符號表示,則

\begin{displaymath}(a_n)\in F,(b_n)\in F\quad\Rightarrow\quad(a_n+b_n)\in F\end{displaymath}

這裡所謂「數列的和」的意思是:二數列
\begin{egqarray*}
a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n,\cdots \\
b_1,b_2,b_3,\cdots,b_n,\cdots
\end{egqarray*}
的和就是指另一數列

\begin{displaymath}a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3,\cdots,a_n+b_n,\cdots\end{displaymath}

通常將此數列記為 (an)+(bn)。所以 (an)+(bn)=(an+bn)

[驗證] 如令 (cn)=(an)+(bn),即 cn=an+bn,則

\begin{eqnarray*}
c_{n-2}+c_{n-1}&=&(a_{n-2}+b_{n-2})+(a_{n-1}+b_{n-1})\\
&=&(a_{n-2}+a_{n-1})+(b_{n-2}+b_{n-1})\\
&=&a_n+b_n=c_n
\end{eqnarray*}


所以 $(c_n)\in F$

通常其有上述二性質的集合叫做線性空間(或向量空間)。 所以費氏數列全體 F 組成一個線性空間。我們不妨給它一個名字,叫做費氏數列空間。

   

上頁 123456 次頁

回頁首
 
(若有指正、疑問……,可以在此 留言寫信 給我們。)
EpisteMath

EpisteMath (c) 2000 中央研究院數學所、台大數學系
各網頁文章內容之著作權為原著作人所有


編輯:李渭天 最後修改日期:5/31/2002