再談費氏數列 (第 4 頁)

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再談費氏數列（第 4 頁）

賴東昇

．原載於科學月刊第六卷第十期
．作者當時任教於台大數學系
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四、等比費氏數列

現在我們就從簡單的數列看手。說起數列，為大家所熟習的有等差數列與等比數列。因此我們不妨先問問看有沒有等差的費氏數列，或者有沒有等比的費氏數列？如果 (a_n) 是等差數列（公差為 d）又是費氏數列，則有

$\begin{displaymath}a_{n-2}+d=a_{n-1}\eqno{(3)}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}a_{n-1}+d=a_{n}\eqno{(4)}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}a_{n-2}+a_{n-1}=a_n\eqno{(5)}\end{displaymath}$

將(3)，(4)兩式相加得

a_n-2+a_n-1+2d=a_n-1+a_n

再利用(5)式，從左右兩邊消去 a_n。可得

$\begin{displaymath}2d=a_{n-1}\eqno{(6)}\end{displaymath}$

但是等差數列的公差 d 是一定數，而費氏數列的各項 a_n-1 卻不是固定的。所以(6)式是不可能成立的。因此我們可以斷定沒有等差的費氏數列（當然，無聊的情形──各項均為 0 的情形──除外）。

其次再看看有沒有等比的費氏數列？假定等比數列（公比為 r）

$\begin{displaymath}a,ar,ar^2,\cdots,ar^n,\cdots\end{displaymath}$

是費氏數列，就應該有下列關係：

ar^n-2+ar^n-1=arⁿ

從兩邊消去 ar^n-2。然後可得

$\begin{displaymath}1+r=r^2\eqno{(7)}\end{displaymath}$

這告訴我們，等比費氏數列的公比 r 必須滿足(7)式。解(7)式得二根 α , β：

$\begin{displaymath}\alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\quad,\quad\beta=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\end{displaymath}$

此地也許大家已經注意到 α 就是黃金分割比值（邊長為 1 的正五邊形的對角線長也恰好等於 α！）。所以等比的費氏數列有下列兩種：

$\begin{displaymath}a,a(\frac{1+\sqrt{5}}{2}),a(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^2,\cdots,a(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n\eqno{(8)}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}a,a(\frac{1-\sqrt{5}}{2}),a(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^2,\cdots,a(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n\eqno{(9)}\end{displaymath}$

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編輯：李渭天

最後修改日期：5/31/2002