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.原載於數學傳播第二十二卷第一期
.作者當時任教於台大數學系
 

談惠更斯級數

蔡聰明

 
 

在數學史上,微積分發明之前,無窮級數的出現,最重要的里程碑有下列四端:

一、阿基米得級數

\begin{displaymath}
1+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+\cdots
\end{displaymath}

這是阿基米得(Archimedes, 287∼212 B.C.)求算拋物弓形面積時,所產生的一個無窮等比級數,它可以說是歷史上第一無窮級數。這個級數顯然收歛到 $\frac{4}{3}$

二、調和級數

\begin{displaymath}
1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots
\end{displaymath}

在1350年左右,N. Oresme(約1323∼1382)證明了調和級數發散, 這是歷史上第一個發散級數的例子。

三、二項級數

\begin{displaymath}
(1+x)^\alpha = {}_\alpha C_0 + {}_\alpha C_1 x + {}_\alpha C_2 x^2
+ {}_\alpha C_3x^3 + \cdots
\end{displaymath}

其中 α 為一個實數並且

\begin{displaymath}
{}_\alpha C_k = \frac{\alpha(\alpha-1) \cdots (\alpha-k+1)}{k!}
\end{displaymath}

從1664年冬天到1666年,共兩年之間,由於歐洲流行黑死病,牛頓(Newton, 1642∼1727) 由劍橋大學回鄉下老家避難,研讀 Wallis(1616∼1703)的「無窮的算術」一書, 受到 Wallis 的插值法及歸納法的啟發,發現了上述的二項級數,這是牛頓生平的第一個數學成果。牛頓就是由無窮級數起家,加上運動學的考量,發明了微積分。

四、惠更斯級數

\begin{displaymath}
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\frac{n(n+1)}{2}} =
1+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{10}+\cdots
\end{displaymath} (1)

當Leibniz(1646∼1716)在1672年於巴黎遇到惠更斯(Huygens, 1629∼1695)時,惠更斯拋一個問題給 Leibniz:考慮三角形數,其第 n 項為

\begin{displaymath}
1+2+3+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}
\end{displaymath}

試求三角形數的倒數之和,即求(1)式之和。這個無窮級數的首 n 項之部分和為
\begin{displaymath}
\begin{eqalign}
S_n &= \sum_{k=1}^n \frac{2}{k(k+1)}
= 2\su...
...}{k} - \frac{1}{k+1}) \\
&= 2(1- \frac{1}{n+1})
\end{eqalign}\end{displaymath} (2)

於是 $\lim_{n \rightarrow \infty} S_n=2$,因此(1)式收歛且其和為 2。從而
\begin{displaymath}
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)} = 1
\end{displaymath} (3)

今日我們稱(1)式與(3)式皆為惠更斯級數。 上述(2)式就是差和分的算法:欲求和分 $\sum_{k=1}^n a_k$,只要能夠找到 (bn),使得差分

\begin{displaymath}
\Delta b_k=b_{k+1}-b_k=a_k
\end{displaymath}

那麼就可得

\begin{displaymath}
\sum_{k=1}^n a_k = \sum_{k=1}^n (b_{k+1}-b_k) = b_{n+1} - b_1
\end{displaymath}

Leibniz 利用差分法解決惠更斯級數的求和問題,並且由此引出調和三角形(又叫做Leibniz 三角形),乃至一般的差和分學,再將差和分對函數施展,作連續化,就得到微積分。這是一個偉大的發現歷程,詳情參見 [6]。

因此,惠更斯級數是生出微積分的一個重要胚芽。德國數學家 Hilbert(1862∼1943)說:「做數學的要訣在於找到那個特例,它含有推展到普遍性的所有胚芽。」惠更斯級數就是這種特例。 根據數學史[4]與[5]的說法,由於惠更斯與 Hudde 討論某個賭局 (game of chance) 的機率計算,才產生惠更斯級數。遺憾的是,其詳情在機率論史的文獻中已不可考。本文我們展示一些跟惠更斯級數有關的數學問題,也許可以補足這個缺憾。


排列與組合

由排列、組合與重複組合的公式可知

\begin{displaymath}
\frac{ {}_{n+1} P_2}{2} = {}_{n+1}C_2 = {}_n H_2
\end{displaymath}

我們可以利用圖表來說明,它們都等於三角形數 $\frac{n(n+1)}{2}$。 考慮從 n+1 個物件中任取兩個出來作排列與組合。將 n+1 個物件編號為 1,2, …, n+1,再列出下表:

因為排列計較順序,故只需扣掉對角線的元素個數

(n+1)2 - (n+1) = n(n+1) = n+1 P2

就是排列數;組合不計較順序,所以打對折就得到組合數

\begin{displaymath}
\frac{ {}_{n+1} P_2}{2} = \frac{n(n+1)}{2} = {}_{n+1} C_2
\end{displaymath}

另一方面,從 n 個物件中任取 2 個之重複組合數為上表中三角形內的元素個數

\begin{displaymath}
\frac{n^2-n}{2} + n = \frac{n(n+1)}{2} = {}_n H_2
\end{displaymath}

因此,惠更斯級數就是

\begin{displaymath}
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{ {}_n H_2}
= \sum_{n=1}^\infty \...
...1}{ {}_{n+1} C_2}
= \sum_{n=1}^\infty \frac{2}{ {}_{n+1} P_2}
\end{displaymath}

 
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編輯:簡立欣 / 校對:簡立欣 / 繪圖:張琇惠 最後修改日期:5/26/2002